第7课:熟练掌握代数式变形技巧

本文收录至文集:写给家长的思维训练课

1、本课程专门针对学生家长,适合那些乐于在家辅导孩子学习的家长朋友

2、本课程解题思维与解题技巧跨度较大,覆盖了K12各个年龄段

3、本课程以问题为引导,每课都分成【问题】、【解答】、【总结】、【课后练习】四大板块, 部分课附有课前公式引导

4、对于【课后练习】请登录,在评论中作答,我会不定期批改

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【问题】

已知,且,当取最小值时,求实数的值。

【解答】

首先对分式做变形,注意到分子分母都含有,应该将分子变形出含有分母的项:

因为,进一步可将分式变形成:

根据基本不等式,当这个式子取最小值时,

又因为

解得:


【总结】

1、无论题设还是问题中出现了较为复杂的代数式,都应该先处理代数式,将其变形成较为简单的/整齐的/常见的代数式

2、在处理代数式时,需要灵活使用因式分解、各类常见不等式。有必要时可将代数式转换成函数,然后用微积分的方法处理。

例如,本题也可以设分母为,然后将分式转化成函数:

,其中

再利用导数 ,求出当函数取最小值时实数的取值,进而解出实数的值

【课后练习】

1、已知正项等比数列的公比为2,若,求的最小值。

2、直线与圆相切,求的最大值。

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