第 10 章 反函数和反三角函数

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Time: 2019-11-29
Title:第 10 章 反函数和反三角函数

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本章重点：
1.使用导数证明一个函数有反函数;
2.求反函数的导数;
3.逐个来看反三角函数;
4.反双曲函数

10.1 导数和反函数

一个函数在定义域上式连续的，是递增或递减的。那么满足水平线检测，就有反函数。递增或递减合一用导数来检验。

导数和反函数：如果 f 在其定义域 (a; b) 上可导且满足以下条件中的任意一条：
(1)
(2)
(3)
(4)

则 f 有反函数.

如果其定义域是 [a; b]、 [a; b) 或 (a; b] 的形式, 且 f 在整个定义域上连续, 那么如果 f 满足上述四个条件中的任意一条, 它仍然有反函数.

10.1.3 求反函数的导数

如果, 则

反函数的导数基本上就是原函数的导数的倒数, 只是对于后面这个导数你必须用 而不是 x 进行计算

例如求 的反函数的导数，1., 2.

反函数也满足函数的所有性质。

10.2 反三角函数

10.2.1 反正弦函数

是奇函数; 其定义域为 [-1; 1], 值域为 [-π/2; π/2].

10.2.2 反余弦函数

既不是偶函数也不是奇函数; 其定义域为 [-1, 1], 值域为 [0, π]

10.2.3 反正切函数

是奇函数; 其定义域是 R 且值域是 (-π/2; π/2).

10.2.4 反正割函数

将定义域限制在 因为它甚至不在 sec (x) 的原始定义域中.

正割函数的值域是 (¡1; ¡1] 和 [1; 1) 这两个区间的并集

10.2.5 反余割函数和反余切函数

10.2.6 计算反三角函数

化简
=

10.3 反双曲函数

对于 x > 1 ,
对于所有的实数 x,

对于 x > 1 ,
对于所有的实数 x,

是奇函数; 其定义域是 (-1, 1), 值域是 R .

.