1. Monte Carlo 模拟：
特点：
随机抽样
独立
计算量大
相对于historic simulation method（nonparametric method）更精确
可用于任何概率分布，任何情况
generate the data according to the desired data generating process（DGP）
Sampling error：标准误
Sx=根号下 [Var（X）/ N]
N代表重复次数the number of replication
置信区间：[x拔 - z*Sx，x拔 + z*Sx]
short option → extreme loss → Var（x）↑ → Sx ↑
降低标准误的方法：
① N ↑：
但是N有可能高到无法令人接受
②对偶变量法：
antithetic variates：
取补集complement，平行模拟 parallel simulation
x拔=（x1+x2）/ 2
Var（x拔）= [ var（x1）+ var（x2）+ 2Cov（x1，x2）] / 4
不用对偶变量法时：
因为x1，x2独立，所以Cov=0
即Var（x拔）= [ var（x1）+ var（x2）] / 4
用对偶变量法时：
rou（x1，x2） ＜ 0
Cov（x1，x2）＜0
Var ’（x拔）＜ Var（x拔）
③控制变量法：
control variates：
control variable have a high correlation （similar to that used in the simulation），but which properties are known prior to the simulation.
add values that are mean 0.
x* = y +（x^ - y^）
Var（x*）= Var（x^）+ Var（y^）- 2Cov（x^，y^）
要降低抽样误差，即Var（x*）＜ Var（x^）
即Var（y^）- 2Cov（x^，y^）＜ 0
2. Boostraping 方法：重抽样方法
特点：
generate simulated data
sampling repeatedly
和simulation一样都充分利用了observed data
区别：
Monte Carlo：
使用observed data来估计key model parameters，比如mean、standard deviation。并且作出关于它们分布的假设an assumption of the distribution。
Bootstrapping ：
直接使用observed data 来模拟出一个有相似特征的sample 。不需要模拟 observed data，也不需要作出关于它们分布的假设。
One Simple Fact：
反复抽样的分布来源于已观察的数据
方法：
①iid method：
observations互相独立，无自相关性
②Circular Block Bootstrap：（CCB）
financial data 有自相关性
block size = 根号下 sample size
Limitations：
过去不能反映未来（太过依赖历史数据）
bootstrapping不能产生在样本中没有出现的数据
bootstrapping和simulation都会遭受“黑天鹅”（“Black Swan” problem）事件
（a good statistical model：应该允许the probability of future losses 大于 have realized in the past）
Ineffective Situations：
①outliers的发生和发生频率
②bootstrapping假设数据互相是独立的，而实际上这明显不成立。因为数据有自相关性。
3. Random Number Generation：
类型：
①truly random number真随机数：
time consuming and difficult
②pseudorandom number伪随机数：
computer-generated random number are in fact not random at all
formula公式/算法
最简单的类型：
从uniform distribution N（0，1）中抽取
equal chance
以初始值initial value（seed）开始
解决办法：
初始值会影响the characteristics of generation distribution，开始影响很大，最后消失
generate more random number than required and discard previous observations
Random number reusage：
优点：reduce the variability of the difference in the estimates across experiments.
缺点：
①不会提高数据的精确性
②不太可能节省大量的时间
Disadvantages of simulation：
①large replications，expensive computationally
②DGP（data generating process）的不切实际的假设，导致模拟结果less precise
③results hard to replicate
④results are experiment-specific