大话数据结构 2 算法

算法：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，
并且每条指令表示一个或多个操作

算法的五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性、可行性
1.输入输出：算法具有0个或多个输入，算法至少有1个或多个输出。
2.有穷性:指算法在执行有限的步骤后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。
3.确定性:算法的每一步骤都具有相同的含义，不会出现二义性。
4.可行性:算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成

算法设计的要求：正确性、可读性（容易理解）、健壮性、时间效率高和存储量低。
1.正确性:算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性，能正确反应问题的需求，并得到问题的正确答案。
2.可读性:算法设计的另一目的是为了方便阅读、理解和交流。
3.健壮性;当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果
4.高效率和低存储量。

算法效率的度量方法：
1.事后统计方法（不好）:通过设计好的测试数据和程序，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。
2.事前分析估算方法:在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。
                   一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模，所谓问题的输入规模是指输入量的多少
                   我们把循环看作一个整体，忽略头尾循环判断的开销，计算程序执行了几次
在分析程序的运行时间时，最重要的是把程序看成是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤

函数的渐进增长:给定两个函数f(n)和g(n),如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐进快于g(n),与最高次项相乘的常数并不重要，
最高次项的指数大的，函数随着n的增长，结果也会增长的更快。
结论:判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。
某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。

算法时间复杂度:
1.定义:在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级，
算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作T（n）=0（f(n)）。
它表示随问题规模，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的监禁时间复杂度，简称为时间复杂度，其中f(n)是问题规模n的某个函数。

2.推到O阶方法:
1>.用常数1取代运行时间中的所有加法常数
2>.再修改后的运行次数函数中，只保留最高项数
3>.如果最高阶存在且其系数不是1，则去除与这个项相乘的系数，得到的结果就是大O阶。

1>.常数阶:不管这个常数是多少，我们都记作O(1)，不能是0(x)其他数字。
2>.线性阶:分析算法的复杂度，关键是分析循环结构的运行情况。
3>.对数阶:循环按照成倍递进，由2的x次方=n，这个循环的复杂度就是O(logn)。
4>.平方阶:外层循环次数×内层循环次数，循环几次是指数为几，执行次数f(n)一步步分析相加。

常见的时间复杂度:
执行次数函数                  阶                 非正式术语
      12                           O(1)                  常数阶
     2n+3                        O(n)                  线性阶
    3n^2+2                     O(n^2)               平方阶
    5log2n+20                O(logn)              对数阶
    2n+3nlog2n+19        O(nlogn)            n*logn阶
    6n^3+2n^2+3n+4     O(n^3)               立方阶
        2^n                       O(2^n)               指数阶

  时间复杂度顺序:

  O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(!) < O(n^n)

最坏情况与平均情况
通常我们提到的运行时间都是最坏的情况的运行时间
平均运行时间是从概率的角度看，这个数字在每一个位置的可能性是相同的，所以平均的查找时间为（n+1）/2次后发现这个目标元素
平均时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间，一般在没有特殊情况下，都是指最坏时间复杂度

算法空间复杂度
可以存储空间来换取时间复杂度，此时时间复杂度转化为空间复杂度，
例如把数据存放在数组中，将所有年份按照下标的数字对应，此时我们的运算最小化了，但一般情况都用时间复杂度。                                                                                                                               

总结回顾：
数据结构与算法关系相互依赖不可分割
算法的定义:算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作
算法的特性:有穷性，确定性，可行性，输入，输出
算法的设计要求:正确性、可读性、健壮性、高效率和低存储量需求
算法的估量方法:1>.事后统计性（不科学、不准确）  2>.事前分析估算方法（常用）
函数的渐进增长:某个算法，随着n的值变大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。
时间复杂度所耗大小排列:   O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(!) < O(n^n)