前缀和实例2（【模板】二维前缀和）

题目：

描述

给你一个 n 行 m 列的矩阵 A ，下标从1开始。

接下来有 q 次查询，每次查询输入 4 个参数 x1 , y1 , x2 , y2

请输出以 (x1, y1) 为左上角 , (x2,y2) 为右下角的子矩阵的和，

输入描述：

第一行包含三个整数n,m,q.

接下来n行，每行m个整数，代表矩阵的元素

接下来q行，每行4个整数x1, y1, x2, y2，分别代表这次查询的参数

 

输出描述：

输出q行，每行表示查询结果。

示例1

输入：

3 4 3
1 2 3 4
3 2 1 0
1 5 7 8
1 1 2 2
1 1 3 3
1 2 3 4

复制输出：

8
25
32

复制

备注：

读入数据可能很大，请注意读写时间。

算法原理：

相较于一维的前缀和算法，二维的前缀和算法难度有点上升，但总体思路还是相似的

1 预处理出来一个前缀和矩阵dp

   dp与原二维数组的规模大小保持一致，dp[i][j]表示从[1,1]~[i,j]这一区域内所有元素的和

   那么dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1]+v[i][j]

2 使用前缀和矩阵

   要求(x1,y1)~(x2,y2)这一区域内所有元素的和

   即dp[x2][y2]-dp[x1-1][y2]-dp[x2][y1-1]+dp[x1-1][y1-1]

代码实现：

 

#include 
#include
using namespace std;

int main()
{
    //1 读入数据
    int n = 0;
    int m = 0;
    int q = 0;
    cin >> n >> m >> q;
    vector> v(n + 1, vector(m + 1));
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            cin >> v[i][j];
        }
    }
    //2 预处理出来一个前缀和矩阵
    vector> dp(n + 1, vector(m + 1));//防止溢出
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + v[i][j];
        }
    }
    //3 使用前缀和矩阵
    int x1 = 0;
    int y1 = 0;
    int x2 = 0;
    int y2 = 0;
    while (q--)
    {
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
    }
    return 0;
}