负数如何取模？深度理解取模:取余运算

在了解取模和取余运算之前，我们必须先了解 取整，因为余数是先确定好整数商之后的附带产物，而取模和取余的概念又非常相似（没错，取模和取余是不同的）

关于”取整“，你必须得知道的事儿

C语言采取的取整规则

#include 
int main() {

    int a = 2.9;
    int b = -2.9;
    printf("%d\n", a);
    printf("%d\n", b);
    return 0;
}

结果是2和-2，大家应该是知道的，但是大家了解原理吗？看下面的图

C语言采取的就是上图所述的向0取整

取整函数trunc

取整函数trunc采用的也是向0取整规则

#include 
#include 
int main() {
    printf("%.1f\n", trunc(-2.1));
    printf("%.1f\n", trunc(-2.9));
    printf("%.1f\n", trunc(2.1));
    printf("%.1f\n", trunc(2.9));
    return 0;
}

取整函数ceil

#include 
#include 
int main() {
    printf("%.1f\n", ceil(-2.1));
    printf("%.1f\n", ceil(-2.9));
    printf("%.1f\n", ceil(2.1));
    printf("%.1f\n", ceil(2.9));
    return 0;
}

结果好像都变大了

那是因为ceil函数取整采用的规则是向+∞取整

取整函数floor

#include 
#include 
int main() {
    printf("%.1f\n", floor(-2.1));
    printf("%.1f\n", floor(-2.9));
    printf("%.1f\n", floor(2.1));
    printf("%.1f\n", floor(2.9));
    return 0;
}

结果又全都变小了

因为floor函数取整采取的是向-∞取整

取整函数round

#include 
#include 
int main() {
    printf("%.1f\n", round(-2.1));
    printf("%.1f\n", round(-2.9));
    printf("%.1f\n", round(2.1));
    printf("%.1f\n", round(2.9));
    return 0;
}

这结果有点像四舍五入

没错，round函数取整采取的是四舍五入取整

结论

浮点数（整数/整数），其实是有很多种取整方式的（四种），而C语言采取的是向0取整

是时候该聊聊取模和取余了

先看一下取模的定义：

如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数q和r，满足a = q * d + r 且0 <= r < d。其中q被称为商，r被称为余数。

看下面代码：

#include 
int main()
{
    int a = 10;
    int b = 3;
    printf("%d\n", a / b);
    printf("%d\n", a % b);
    return 0;
}

可以看到结果分别是3和1，此时还没有任何的问题。

#include 
int main()
{
    int a = -10;
    int b = 3;
    printf("%d\n", a / b);
    printf("%d\n", a % b);
	return 0;
}

再看结果，分别是-3和-1，这里有一点不对劲儿了，-3还好理解，但是-1好像跟定义不太符合，再继续往下看

在python中，正数的“取模”是1非常正确，但是负数的“取模”竟然是2，这好像太不对劲儿了吧，但是这个2是符合定义的。

从这里可以得出一点结论：关于取模的定义，并不能满足语言上的取模运算

因为在C语言中，余数出现了负数，这显然是不符合定义的，所以现在这里有了一个修订版的定义：

如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数q和r，满足a = q * d + r 且0 <= |r| < |d|。其中q被称为商，r被称为余数。

有了这个新的定义，那么C中和python中的“取模”，就都能解释了。

解释C：-10 = (-3) * 3 + (-1)

解释python：-10 = (-4) * 3 + 2

那么是什么造成了C和python这种现象的呢？

我们一定要知道一点，余数一定是根据商来求得的，余数的变化随商的变化而变化。

那么上面C和python余数的不同肯定是由于商的不同而造成的，上图中也可以看出，C中负数的商是-3而python负数的商却是-4，那么这是为什么呢？

因为C和python遵守的取整规则不同，C遵守的是向0取整，而python遵守的是向-∞取整。

取余和取模一样吗？

取余和取模并不能严格等价（虽然大部分情况差不多）

先看取整

取余：尽可能让商进行向0取整

取模：尽可能让商进行向-∞取整

所以

C中%，本质是取余

python中%，本质才是取模

理解链：

对任何一个大于0的数，对其进行向0取整或者-∞取整，取整方向是一致的。故取模等价于取余

对任何一个小于0的数，对其进行向0取整或者-∞取整，取整方向是相反的。故取模不等价于取余

而同符号数据得到的商一定是正数，所以此时取模也等价于取余。

通过对比实验，更加验证了，参与取余的两个数据，如果同符号，取模等价于取余。

如果参与运算的数据，不同符号呢？

#include 
int main()
{
    printf("%d\n", -10 / 3);
    printf("%d\n", 10 / -3);
    printf("%d\n", -10 % 3);
    printf("%d\n", 10 % -3);
    return 0;
}

通过结论可以看到：如果不同符号，参考之前的定义，余数的符号是和被除数的符号相同的。

然而真的是这样吗？

？？？？？

这是怎么回事？

上面讲过了C语言中的求整规则是向0取整，而python中的取整规则是向负∞取整。

其实导致上图的二者之间的余数的符号的区别，也是由于C语言和python采取的取整规则不同。

-10 // 3 = -4 ，而-4*3=-12，所以余数是-10 - (-12) = 2，

10 // -3 = -4 ，而-4*-3=12，所以余数是10 - 12 = -2

结论：如果参与取余的两个数的符号不同，在采取向0取整的语言中（C语言、C++、Java），余数符号和被除数相同；而在采取向负∞取整的语言中（python），余数符号相对是无规则的，具体符号可根据公式倒退出来。

总结

• 浮点数（或者整数相除），是有很多的取整方式的。
• 如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数q和r，满足a = q * d + r，q为整数，且0 <= |r| < |d|。其中，q被称为商，r被称为余数。
• 在不同语言中，同一个计算表达式，“取模”结果是不同的。
• 具体余数r的大小，本质是取决于商q的。而商，又取决于除法计算的时候的取整规则。
• 取余vs取模：取余尽可能让商进行向0取整。取模尽可能让商进行向-∞取整。
• 参与取余的两个数据，如果同符号，取模等价于取余。
• 如果参与取余的两个数的符号不同，在采取向0取整的语言中（C语言、C++、Java），余数符号和被除数相同；而在采取向负∞取整的语言中（python），余数符号相对是无规则的，具体符号可根据公式倒退出来。