线性时间选择

一、概念

给定线性序集中n个元素和一个整数k，，要求找出这n个元素中第k小的元素。

二、特殊情况（堆排序）

当或时，
使用堆排序可以在时间内找出第k小元素。

注：算法中log是以2为底的

三、一般情况

1.思路

模仿快速排序算法，对输入数组进行递归划分。与快速排序不同的是，它只对划分出的子数组之一进行递归处理。

2.缺点

在最坏情况下，随机划分需要时间计算。

3.改进思路

如果能在线性时间内找到一个划分基准，使得按这个基准所划分出的两个子数组长度都至少为原数组长度的倍（是某个正常数），那么在最坏情况下用时间就可以完成选择任务。例如，若，算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短。所以，在最坏情况下，算法所需的计算时间满足递归式。由此可得

4.改进方法

（1）将n个输入元素划分成个组，每组5个元素，除可能有一个组不是5个元素外。用任意一种排序算法，将每组中的元素排好序，并取出每组的中位数，共个。
（2）递归调用Select找出这个元素的中位数。如果是偶数，就找它的两个中位数中较大的一个。然后以这个元素作为划分基准。

5.C++代码

#include 

using namespace std;

template
void Swap(Type &a, Type &b) {
    Type c = a;
    a = b;
    b = c;
}

//选择排序
template
void SelectSort(Type a[], int p, int r) {
    for (int i = p; i < r; ++i) {
        int index = i;
        for (int j = i + 1; j <= r; ++j) {
            if (a[j] < a[index])
                index = j;
        }
        Swap(a[i], a[index]);
    }
}

//按x划分，返回划分基准下标
template
int Partition(Type a[], int p, int r, Type x) {
    int i = p - 1, j = r + 1;
    while (true) {
        while (a[++i] < x && i < r);
        while (a[--j] > x && j > p);
        if (i >= j)break;
        Swap(a[i], a[j]);
    }
    return j;
}

//找到中位数（用于找每组的5个数的中位数）
template
int SearchMid(Type a[], int p, int r) {
    Type *b = new Type[r - p + 1];
    for (int i = p; i <= r; ++i) {
        b[i - p] = a[i];
    }
    SelectSort(b, 0, r - p);
    for (int i = p; i <= r; ++i) {
        if (a[i] == b[(r - p + 1) / 2])
            return i;
    }
    return 0;
}

//p第一个数下标，r最后一个数下标，k要找的第k个数
template
Type Select(Type a[], int p, int r, int k) {
    //规模小于75时直接排序查找
    if (r - p < 75) {
        SelectSort(a, p, r);
        return a[p + k - 1];
    }
    //分成n/5组，每组5个；找到每组中位数，放置队首
    for (int i = 0; i <= (r - p - 4) / 5; ++i) {
        int mid = SearchMid(a, p + 5 * i, p + 5 * i + 4);
        Swap(a[mid], a[p + i]);
    }
    //找到所有中位数的中位数
    Type x = Select(a, p, p + (r - p - 4) / 5, (r - p - 4) / 10 + 1);
    //按中位数划分
    int i = Partition(a, p, r, x), j = i - p + 1;
    if (k <= j)return Select(a, p, i, k);
    else return Select(a, i + 1, r, k - j);
}

int main() {
    return 0;
}

6.复杂度分析

为了分析算法Select的计算时间复杂性，设，即n为输入数组的长度。

• 算法的递归调用只有在时才执行。因此，当时，算法Select所用的计算时间不超过一个常数。
• 找到中位数的中位数后，算法Select以为划分基准调用函数Partition对数组进行划分，这需要时间。
• 算法Select的for循环体共执行次，每一次需要时间。因此，执行for循环共需时间。

设对n个元素的数组调用Select需要时间，那么找中位数的中位数至多用时间。现已证明，按照算法所选的基准进行划分所得到的两个子数组分别至多有个元素。所以无论对哪一个子数组调用Select都至多用时间。
总之，可以得到关于的递归式
解此递归式可得

7.其他

• 由于算法将每一组的大小定位5，并选取75作为是否进行递归调用的分界点。这两点保证了的递归式中两个自变量之和，。这是使的关键之处。当然，除了5和75之外，还有其他选择。
• 在算法Select中，假设所有元素互不相等，这是为了保证在以为划分基准调用函数Paritition对数组进行划分之后，所得到的两个子数组的长度都不超过原数组长度的。当元素可能相等时，应在划分之后加一条语句，将所有与基准相等的元素集中在一起，如果这样的元素的个数，而且时，就不必再递归调用，只要返回即可。否则最后一行改为调用Select(i+m+1, r, k-j-m)。