2021-08-30-01
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P029 例6)
如图,在锐角三角形中,,是边上的高,是线段内一点.过作,垂足为,作,垂足为.、分别是、的外心求证:、、、四点共圆的充分必要条件为是的垂心.(2006年全国高中数学联赛)
证明
连结、、、、、.
因为,,故、、、四点共圆,且为该圆的直径.
又因为是的外心,故在上且是的中点.
同理可证、、、四点共圆,且是的中点.
综上,,所以.
因为,所以、、、四点共圆.
充分性:若是的垂心,由于,,所以、、、四点共线,、、、四点共线,,故、、、四点共圆.
必要性:设、、、四点共圆,故.
由于,又因为是直角的斜边中点,也就是的外心,所以.
因为是直角的斜边中点,
.
因为、、、四点共圆,所以
,.
于是
,
即
,
设是关于的对称点,由知在线段上,又,于是、、、四点共圆,所以,从而,又,故为垂心.
2021-08-30-02
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P030 例7)
如图,在中,设,过作的外接圆的切线,又以为圆心,为半径作圆分别交线段于;交直线于、.证明:直线、分别通过的内心与一个旁心.(2005全国高中数学联赛)
(注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心称为旁心)
证明
(1)先证过的内心.
如图,连结、,作的平分线分别交于、于,连结,则由,得,.
又、、在上,所以,因而、、、四点共圆.
从而,而,则.
故,所以,故为的内心.
(2)再证过的一个旁心.
连结并延长交的外角平分线于,连结、、,由(1)知,为内心.
所以,故、、、四点共圆.
因为,
所以、、共线.
故是的边外的旁心.
2021-08-30-03
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P031 例8)
如图在锐角三角形中,、是两条角平分线,、、分别是的内心、外心、垂心,连结,分别交、于点,.已知、、、四点共圆.求证:
(1);
(2).
证明
(1)因为、、、四点共圆,所以
,
所以
.
(2)因为
,
,所以、、、四点共圆,于是
,
又,
所以,
于是,
同理可得,
故.