高中奥数 2021-08-30

2021-08-30-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角形中的几个重要定理及其应用 P029 例6）

如图,在锐角三角形中,,是边上的高,是线段内一点.过作,垂足为,作,垂足为.、分别是、的外心求证:、、、四点共圆的充分必要条件为是的垂心.(2006年全国高中数学联赛)

图1

证明

连结、、、、、.

因为,,故、、、四点共圆,且为该圆的直径.

又因为是的外心,故在上且是的中点.

同理可证、、、四点共圆,且是的中点.

综上,,所以.

因为,所以、、、四点共圆.

充分性:若是的垂心,由于,,所以、、、四点共线,、、、四点共线,,故、、、四点共圆.

必要性:设、、、四点共圆,故.

由于,又因为是直角的斜边中点,也就是的外心,所以.

因为是直角的斜边中点,

因为、、、四点共圆,所以

于是

$\begin{aligned} 180^{\circ}&=\angle O_{1}O_{2}E+\angle O_{1}FE\\&=\angle PO_{2}O_{1}+\angle PO_{2}E+\angle O_{1}FP+\angle PFE\\&=\left(\angle ACB-\angle ACP\right)+2\angle ACP+\left(90^{\circ}-\angle ABP\right))+\left(90^{\circ}-\angle ACB\right) \end{aligned}$ ,

即

设是关于的对称点,由知在线段上,又,于是、、、四点共圆,所以,从而,又,故为垂心.

2021-08-30-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角形中的几个重要定理及其应用 P030 例7）

如图,在中,设,过作的外接圆的切线,又以为圆心,为半径作圆分别交线段于;交直线于、.证明:直线、分别通过的内心与一个旁心.(2005全国高中数学联赛)

图2

(注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心称为旁心)

证明

(1)先证过的内心.

如图,连结、,作的平分线分别交于、于,连结,则由,得,.

又、、在上,所以,因而、、、四点共圆.

从而,而,则.

故,所以,故为的内心.

(2)再证过的一个旁心.

连结并延长交的外角平分线于,连结、、,由(1)知,为内心.

所以,故、、、四点共圆.

因为,

所以、、共线.

故是的边外的旁心.

2021-08-30-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角形中的几个重要定理及其应用 P031 例8）

如图在锐角三角形中,、是两条角平分线,、、分别是的内心、外心、垂心,连结,分别交、于点,.已知、、、四点共圆.求证:

(1);

(2).

图3

证明

(1)因为、、、四点共圆,所以

所以

(2)因为

,所以、、、四点共圆,于是

又,

所以,

于是,

同理可得,

故.

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