十八世纪的常微分方程（三）

奇解（本人每天在祈求上天给我个奇迹看懂此书）

布鲁克泰勒解一阶二次方程时观察到：奇解不能通过通解+特定常数的方式求出（即不是特解），莱布尼茨在1694年看到：一个解族的包络也是一个解。克莱罗和欧拉对奇解做了更完整的探讨。

1734年克莱罗对y=xy'+f(y')求解（该方程现称为克莱罗方程），得到通解y=cx+f(c)和另一个解x+f'(y')=0。联立两式得到x+f'(c)=0，即奇解是通解的包络。1708年欧拉给出了一个从特殊积分鉴别奇解的判别法，在未知通解的情况下也可以应用。达朗贝尔加强了该判别法，后来拉普拉斯把奇解（他称为特殊解）的概念推广到高阶方程和三个变量的方程。

拉格朗日系统地研究了奇解和通解的关系，他给出了从通解消去常数得到奇解的一般方法，扩大了克莱罗和欧拉对奇解的认识，最后他从几何上解释奇解为积分曲线族的包络。在奇解理论中他也有一些盲区，比如他没意识到一个奇解可以包括一支特解。奇解的完整理论发展于19世纪，1872年凯利和达布将其表达为现在使用的形式。

二阶方程与黎卡提方程

1691年詹姆斯伯努利研究了船帆在风力下的形状问题，得到二阶常微分方程 (s为弧长)。同年约翰伯努利处理了这个问题，认为它在数学上和悬链线是一个问题。泰勒和约翰伯努利研究两端固定的弹性振动弦（如小提琴弦）的形状和基频时也用到了二阶方程。

1728年欧拉在力学研究中使用二阶方程，如摆在有阻尼介质中的运动。他还利用变量替换把一类二阶方程化为一阶方程。这项工作的意义在于开启了二阶方程的系统性研究，而且引入了对解二阶、高阶方程非常重要的指数函数。

1733年丹尼尔伯努利在离开圣彼得堡前完成了一篇研究悬链线的论文，他研究的是上端固定，无重量但带等间隔重荷的悬链线，当链线振动时他发现质点系相对于悬挂点垂线作不同模式的振动，每个模式有一个特征频率，他认为这个理论可以推导出泰勒和他爹的音乐弦理论。欧拉做了相似研究，在数学上有了更清晰的表述。

1739年欧拉研究了谐振子的微分方程和强迫振动方程，用积分法解释了共振现象。他研究声在空气中的传播模型，求出了每个质点的特征频率和简谐振动叠加的一般解。

有些一阶非线性方程（方程中出现变量y,y',y''）与线性二阶方程密切相关，比如非线性的黎卡提方程。

黎卡提方程

黎卡提伯爵（1676-1754）引入该方程求解二阶常微分方程，降低常微分方程的阶成为处理高阶常微分方程的主要方法。1760年欧拉研究黎卡提方程将方程化为线性，将解方程化为求积分。达朗贝尔将黎卡提方程推广到一般形式（即上式）并命名为黎卡提方程。