优先队列的总结和实现

优先队列使用堆来实现，所以我们先学习堆。

堆的定义

堆是一种特殊的树。堆总是满足以下定义：

1. 堆中的某个结点的值总是大于或小于其父结点的值（小根堆或大顶堆）。
2. 堆总是一棵完全二叉树

完全二叉树

完全二叉树：除最底层外，其他层必须满结点，且最底层的结点必须从左到右紧凑排列的二叉树。
假如给一棵完全二叉树的结点按从上到下、从左到右顺序编号（序号从1开始），则：

1. 编号为i的结点的父节点编号为 int(i/2)
2. 编号为i的结点的左孩子编号为2i，右孩子编号为2i+1

优先队列的实现（C++）

优先队列使用堆来实现，而堆是一棵完全二叉树，因为完全二叉树结点较为紧凑，通常使用数组来储存。
由于堆中结点的编号习惯性从1开始，所以第一个结点从数组的下标为1的位置开始储存，下标0的位置闲置不用。
优先队列内部需要维护三个变量，用于储存堆的数组、已用空间size、数组容量capacity：

class PriorityQueue
{
    int *data;
    int size;
    int capacity;
};

下面以大根堆为例，实现优先队列的入队、出队操作。

入队操作的实现

入队操作的实现思路如下：
首先将需要入队的元素放到数组的末尾，即堆中最底层、最右边的位置，然后根据堆的定义，需要将新入队的元素执行ShiftUp操作。
代码：

void add(int data)
{
    //当数组无剩余空间时终止
    assert(size < capacity);
	//由于下标0空置，size指向最后一个元素，需先自增再赋值
    this->data[++size] = data;
	//对新入队的元素执行shiftup
    shift_up(size);
}

ShiftUp

ShiftUp是指为保持堆的定义，将位于底部的元素逐渐上升的过程。此处涉及到上文的完全二叉树性质一，即编号为i的结点的父节点编号为int(i/2)，这里的int(i/2)是指整形除法。ShiftUp实现代码：

//i为需要执行ShiftUp操作的元素下标
void shift_up(int i)
{
	//当i不是根结点 且 i的父结点小于i时
    while (i > 1 && data[i / 2] < data[i])
    {
		//交换结点i与其父结点
        swap(data[i], data[i / 2]);
		//由于上一句交换了结点，这里更新i
        i /= 2;
    }
}

值得一提的是，这种连续的swap操作可以优化成赋值操作，思想类似于插入排序的优化，优化后的代码如下；

void shift_up_opt(int i)
{
	//保存初始的data[i]的值
    int tmp = data[i];
	//储存最后需要将tmp赋值过去的下标
    int target = 0;
    while (i > 1 && data[i / 2] < tmp)
    {
        data[i] = data[i / 2];
		//更新target
        target = i / 2;
        i /= 2;
    }
	//赋值
    data[target] = tmp;
}

出队操作的实现

思路：每次出队根节点，然后将最末尾的结点移到根节点的位置，再对移动过来的根节点（原最末尾结点）执行ShiftDown操作。
代码：

int extractMax()
{
    //当数组为空时终止
    assert(size > 0);

	//暂存返回值
    int ret = data[1];
	//将最末尾结点移到根结点位置并size-1
    data[1] = data[size--];
	//对根结点执行shiftdown
    shift_down(1);
    return ret;
}

ShiftDown

与ShiftUp操作对应，ShiftDown指为维持堆的定义，将根节点元素逐渐下移的过程。
代码：

void shift_down(int i)
{
	//swapNode为需要交换的结点下标
    int swapNode = 0;
	//当结点i有左孩子结点时循环
    while (2 * i <= size)
    {
		//swapNode指向左孩子
        swapNode = 2 * i;
		//当结点i有右孩子 且 右孩子比左孩子大时，swapNode指向右孩子
        if (swapNode + 1 <= size && data[swapNode + 1] > data[swapNode])
            ++swapNode;
		//如结点i已经比最大的孩子结点大，则跳出循环
        if (data[i] > data[swapNode])
            break;
		//否则交换swapNode结点与结点i
        swap(data[i], data[swapNode]);
		//由于上行代码已经交换结点，更新i
        i = swapNode;
    }
}

出队入队操作的时间复杂度

皆为O(log(n))。

完整实现代码

#include 
#include 

using namespace std;

class PriorityQueue
{
    int *data;
    int size;
    int capacity;

    //i -> index
    void shift_up(int i)
    {
        while (i > 1 && data[i / 2] < data[i])
        {
            swap(data[i], data[i / 2]);
            i /= 2;
        }
    }

    void shift_up_opt(int i)
    {
        int tmp = data[i];
        int target = 0;
        while (i > 1 && data[i / 2] < tmp)
        {
            data[i] = data[i / 2];
            target = i / 2;
            i /= 2;
        }
        data[target] = tmp;
    }

    //i -> index
    void shift_down(int i)
    {
        int swapNode = 0;
        while (2 * i <= size)
        {
            swapNode = 2 * i;
            if (swapNode + 1 <= size && data[swapNode + 1] > data[swapNode])
                ++swapNode;
            if (data[i] > data[swapNode])
                break;

            swap(data[i], data[swapNode]);
            i = swapNode;
        }
    }

public:
    PriorityQueue(int capacity)
    {
        data = new int[capacity + 1];
        size = 0;
        this->capacity = capacity;
    }

    ~PriorityQueue()
    {
        delete[] data;
    }

    void print()
    {
        for (int i = 1; i <= size; ++i)
            cout << data[i] << " ";
        cout << endl;
    }

    void add(int data)
    {
        //stop when array is full
        assert(size < capacity);

        this->data[++size] = data;
        shift_up(size);
    }

    int extractMax()
    {
        //stop when array is not empty
        assert(size > 0);

        int ret = data[1];
        data[1] = data[size--];
        shift_down(1);
        return ret;
    }
};

int main()
{
    PriorityQueue pq(10);
    for (int i = 0; i < 7; ++i)
        pq.add(i);
        
    pq.print();

    for (int i = 0; i < 7; ++i)
        cout << pq.extractMax() << " ";
    cout << endl;

    return 0;
}