动态规划——01背包

        背包问题经典资料背包九讲，可以上网查一下相关资料。

        下面的资料来自代码随想录和自己的一些个人理解，如有需要可以跳转代码随想录进行学习：代码随想录 (programmercarl.com)

        背包一共分为01背包，完全背包，多重背包，分组背包，和混合背包，下图来自代码随想录

01背包是有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。且每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

根据动态规划的一般步骤来解决一下并给出01背包的模板：

1.确定dp数组以及下标的含义

        定义dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大。

2.确定状态转移方程

        对于每个物品，只有放或者不放两种可能，所以可得出：

        不放：dp[i][j] = dp[i - 1][j]

        放:       dp[i][j] = dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]

3.初始化

        从定义出发，容量j为0时，价值一定为0，即dp[i][0] = 0

        再看状态转移方程，i是从i-1推导而来，所以要考虑i=0时，是可以选取第0号物品的，所以当j>weight[0]时将dp[0][j] = value[0]

4.确定遍历顺序

        两种遍历顺序，先遍历物品或者先遍历容量，在01背包中可以，先遍历物品更好理解，需要注意一下的就是在完全背包中不同的遍历顺序的含义是不同的，后续再说吧。

5.举例推导验证一下

其次，背包问题的状态是可压缩的，我们可以将二维数组压缩成一维，对于递推公式：

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

我们将dp[i-1]那一层拷贝到dp[i]这一层，就可以将递推公式改为：

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])

这样就可以只用一维数组，即滚动数组，重复利用上一层的数据即可

1.确定dp数组以及下标的含义

        定义dp[j] 表示容量为j的背包，所含物品的最大价值。

2.确定状态转移方程

        对于每个物品，只有放或者不放两种可能，所以可得出：

        不放：dp[j] = dp[j]

        放:       dp[j] = dp[j - weight[i]] + value[i]

3.初始化

        从定义出发，容量j为0时，价值一定为0，即dp[0] = 0

4.确定遍历顺序

        这里只能先遍历物品，然后再遍历背包容量，而且背包容量必须从大到小枚举，这样是为了保证每个物品只被放入一次。

思考一下，如果正序遍历，假设物品0重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15，

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

可以发现物品0是被使用了两次，但是从逆序开始遍历，则是

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

因为倒序遍历能保证之前的状态是没有被使用的，而二维数组每次是由上一层推导来的，不会被同一层的状态影响

       然后就是为什么只能先遍历物品呢？假如先遍历容量，假设有物品0 weight[0] = 1，价值value[0] = 5，物品1 weight[1] = 2，价值value[1] = 10，

可以发现第一次dp[3] = dp[3 - 1] + 5 = 5, 第二次dp[3] = dp[3 - 2] + 10 = 10，而前面的状态都是还没确定的，因为我们是逆序遍历容量，那么这样每个背包其实就只放入了一个物品，当然是错的。

5.举例推导验证一下

423. 采药 - AcWing题库

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。

为此，他想拜附近最有威望的医师为师。

医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。

医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

输入文件的第一行有两个整数 T 和 M，用一个空格隔开，T 代表总共能够用来采药的时间，M 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 M 行每行包括两个在 11 到 100100 之间（包括 11 和 100100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

数据范围

1≤T≤1000,
1≤M≤100

输入样例：

70 3
71 100
69 1
1 2

输出样例：

3

思路：典型的01背包问题，每个草药只能采一次，花费时间相当于所占容量，按套路来即可

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1010;

int V, n;
int v[N], w[N], dp[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &V, &n); 
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    
    for(int i = 0; i < n; i ++ )
        for(int j = V; j >= v[i]; j -- )
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
    
    
    printf("%d\n", dp[V]);
    
    return 0;
}

1024. 装箱问题 - AcWing题库

1022. 宠物小精灵之收服 - AcWing题库

278. 数字组合 - AcWing题库