二叉树（堆）

堆的性质：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

堆总是一棵完全二叉树。

大堆：任何父亲≥孩子

小堆：任何父亲≤孩子

接下来，我们要做的便是对堆进行增加和删除：

首先是增加操作，我们这里采用向上调整的方式来进行增加：

void AdjustUP(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

时间复杂度：O(logN)

比如我们有这样一组数据：

int a[] = { 65,100,70,32,50,60 };

然后对其进行操作如下;

void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	//扩容
	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			exit(-1);
		}

		php->a = tmp;
		php->capacity = newCapacity;
	}

	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUP(php->a, php->size - 1);
}

运行结果为：

结果：

嘿嘿，怎么着？这不就是小堆嘛？

那么呢，接下来我们便进行数据的删除操作：

我们先来考虑这样一个问题：删除哪个数据最有价值呢？

显然是删除根because挪动覆盖第一个位置根，关系全乱了，剩下的值，不一定是堆

你看，你看，这不是没乱吗？

雷布斯：这绝对是来捣乱的（这种情况呢，显然只是一个巧合）

不信，我们再来看一个：

你看全乱了，所以这种方式好不好呢？

那不好怎么办呢？别慌，让我们娓娓道来：

我们不影响其他位置，加上尾插和尾删的效率很好，所以只把要删除的元素和最后一个元素换换位置，你看：

向下调整： 

void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		//找出小的那个孩子
		if (child+1 < n && a[child + 1] < a[child])
		{
			++child;
		}
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			//继续向下调整
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

时间复杂度：O(logN)

 其次，我们仔细看，经过这一系列操作，我们是不是还把这一组数据中的次小元素给找了出来？

那我们再继续pop，是不是又找到了第三小？依次反复……是不是就成为了排序

我们来操作一下，对某个数组进行排序。

如果要求的是升序，应该选择 大堆 还是 小堆 呢？

升序：建大堆

堆顶跟最后一个交换        最大的数据排好了        剩下数据向下调整，选出次大的，代价是logN

合计是：N*logN

//升序
void HeapSort(int* a, int n)
{
	//建堆	（大堆）or （小堆）
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		AdjustUP(a, i);
	}
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		--end;
	}
}