十、成本函数

为了估计转换模型的哪些参数可以最好地同时显示两个图像，我们需要一种方法来定义图像之间的差异，这被称为成本函数。当图像对准良好时，一个好的成本函数应该很小，并且随着它们逐渐变得越来越不对准，一个好的成本函数应该变得更大。选择合适的成本函数在很大程度上取决于您尝试配准的图像类型。如果图像是相同类型的(例如，跨不同时间点重新对准fMRI数据)，则成本函数只需要确定跨两个图像的图像强度的相似性。如果图像完全对齐，则图像中的强度值应该彼此非常接近(暂时不考虑它们可能由于激活等有趣因素而改变的事实)。这个问题通常被称为“医疗模式内”配准。另一方面，如果图像具有不同类型的对比度(例如，T1加权的MRI图像和T2加权的图像)，则最优对齐将不会在图像之间产生相似的值。这被称为“模态之间”配准。对于T1加权图像和T2加权图像，在T1加权图像中，白质将比灰质亮，而在T2加权图像中，灰质比白质亮(参见图2.4)，因此我们不能简单地匹配所有图像的强度。相反，我们希望使用一种对不同体素集的相对强度敏感的方法；例如，我们可能希望将一幅图像的亮部与另一幅图像的暗部进行匹配。

2.4 不同MRI图像类型的示例。不同脑区(如白质、灰质、脑室)的相对强度因图像类型的不同而不同，这意味着它们不能简单地通过匹配图像间的强度来对齐。

在这里，我们描述了几个最常见的成本函数，用于MRI图像的模态内和模态间配准。

1.  最小平方

最小二乘成本函数可能是最熟悉的，因为它是大多数标准统计方法的基础。此成本函数衡量每个图像中体素强度之间的均方差：

其中和分别指图像A和B中的第v个体素的强度。因为它测量每个体素上的值的相似性，所以最小二乘代价函数仅适用于模态内配准。即使在模态中，如果两幅图像具有不同的强度分布(例如，其中一幅整体比另一幅更亮或强度范围更广)，它的性能也会很差。一种方法是在使用最小二乘成本函数之前首先对强度分布进行缩放，这是AIR软件包中的一个选项，以便它们在图像上落在相同的范围内。

2. 归一化相关

归一化相关性测量两幅图像中体素强度之间的线性关系。它被定义为：

这一措施仅适用于医疗机构内的配准。在进行运动校正的许多不同成本函数的比较中，詹金森（Jenkinson，2002年）发现，归一化相关性比包括最小二乘在内的其他几种成本函数的配准更准确。它是FSL软件包中运动校正的默认成本函数。

2.3 互信息

尽管前面描述的用于模态内配准的成本函数以经典统计学为基础，但互信息成本函数(Pluim等人，2003)(可用于模态间或模态内配准)源自信息论中的熵概念。熵指的是信号中存在的不确定性或随机性的量：

其中是变量的每个可能值的概率；对于连续变量，这些值被分组到N个箱中，通常称为直方图箱。熵测量变量的每个不同可能值在信号中出现的程度。如果只能出现一个信号值（即，xi的概率为pi=1），熵将被最小化。如果每个不同的值出现的频率相等(即，对于所有Xi，pi=1/N)，则熵最大化。以这种方式，它与信号的方差以及不确定性密切相关，人们可以利用该不确定性来预测信号的下一个值。通过检查图像的联合直方图，可以将熵扩展到多个图像，该直方图绘制出图像中所有体素的所有可能值上强度组合的频率(参见图2.5)。如果两个图像相同，则联合直方图仅在对角线上具有值(因为在每个图像中的体素s中的值将是相同的)，而图像之间的差异导致值在直方图上的更大分散；请注意，对于这种模态内的情况，相关性将是比互信息(MI)更合适的成本函数度量。对于来自不同模式的图像，在互信息更合适的情况下，配准错误越大，联合直方图中的离散度越大(见图2.6)。然后，可以从该联合直方图计算两个图像A和B的联合熵，如下所示：

其中i为A的索引值，j为B的索引值，pij为两者同时出现的概率。当图像B的值完全可由图像A中的相同体素的值预测时，该度量最低。

互信息是各个图像的总熵和联合熵之间的差：

其中H(A)和H(B)是分别为每个图像中的值单独计算的熵(称为边际熵)，H(A，B)是联合熵。当联合熵最小时，互信息最大，当一幅图像的值可从另一幅图像中最大限度地预测时就会发生这种情况。因此，互信息可以用作两个图像之间的相似性的度量。

互信息的一个潜在问题是，在某些情况下，即使图像之间的重叠减少，互信息也会增加。为此，建议对互信息系数进行归一化(Studholme et al., 1999):

所有主要的软件包(FSL、SPM和AFNI)都提供了用于图像配准的常规和归一化互信息代价函数。

2.5 T1加权图像和T2加权图像之间的联合直方图示例。图像的暗度表明直方图的这一区间出现的频率更高。显示了每幅图像中两个不同体素的强度，一个在灰质(顶部切片)，另一个在白质(底部切片)。

2.6 图2.5中T1加权和T2加权图像的联合直方图。左面板显示了原始配准图像的联合直方图。中间面板显示其中一个图像旋转1度后的联合直方图，而右侧面板显示其中一个图像旋转180度后的联合直方图。每个比较的MI值都显示在面板标签中；MI随着图像变得不那么相似而减小。

2.4 相关比

相关性比率(Roche et al.，1998)衡量一个度量中的方差被另一个度量中的方差捕获的程度。两个图像A和B的相关比定义为

其中，k是B的每个唯一值的索引，N是B的唯一值的数目。如果A和B相同，则在具有某些特定B值的所有体素上，A值将没有方差，并且相关比变为零。该方法类似于最初在AIR软件包中为PET-MRI共同配准实施的Woods标准(Woods等人，1993年)，尽管它在某些情况下表现不同(Jenkinson&Smith，2001)。它既适用于模态内配准，也适用于模态间配准，是FSL软件包中默认的模态间成本函数。

以上内容来自《Handbook of functional MRI Data Analysis》。