特效笔记 -- 搞定坐标系变换_左乘_右乘_行主序_列主序的倒数第二篇文章

前言

笔者是一个游戏行业的程序员，读书的时候做的基本都是native graphic library的项目，工作了反而对渲染管线细节接触少很多，说到底还是现在的商业引擎都太好用了啊喂。目前绝大多数的渲染算法在github，shader toy上都能找到非常完整的实现，大量的内置函数和宏隐藏了复杂的渲染细节。假如你需要修改unity自带的复杂pbr光照，或者实现一个简单的billboard shader，做为程序员为了能继续方便的打磨别人的轮子，搞明白这些内置函数&变量的数据计算过程就成了必要条件。

这篇文章包含了左&右手坐标系 行主序（row major） 列主序（column major）左乘 右乘 坐标系变换的相关推导和使用注意事项。

相信我，我高考数学选择错了一半都能搞懂，你肯定也可以。

左手坐标系&右手坐标系

左手坐标系是指在空间直角坐标系中，让左手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为左手直角坐标系。反之则是右手直角坐标系。

left_hand_坐标系.jpg

定义左右手坐标系的作用：

---

在三维世界中，我们给定一个平面XOY，针对这个平面的旋转角度θ就产生两种情况--顺时针和逆时针。所以对坐标系使用左手与右手的命名，这种命名规则的作用就是用来方便判断旋转的正方向，这就是左手法则和右手法则。

针对上图来说，在左手坐标系下，XOY面的旋转正方向这样获得：大拇指朝向z轴正方向，四指弯曲的方向就是左手坐标系下，旋转的正方向。所以本文的所有旋转在给定左右手坐标系的情况下，旋转角度θ，就是沿着当前坐标系的正方向进行旋转θ角度。

测试可知：左手坐标下，顺时针就是旋转的正方向，右手坐标系则正好相反

left_hand_坐标系_标记.jpg

ps：unity就是基于左手坐标系的，我们可以通过简单的代码进行观察物体是否沿着XOZ面顺时针旋转

    transform.rotation = Quaternion.Euler(0, 45, 0);

1. 点，向量，齐次坐标

为了理解简单点，本文大部分都会先考虑二维的情况，三维世界的情况其实就是二维世界的扩展

在二维世界中，点P&向量V的定义:

p=\left\{x, y, 1\right\} v=\left\{x, y, 0\right\}

这里你可能会提出两个问题：

1. 为什么要用三维向量去表示二维世界的P&V
2. 为什么P的第三维度值是1，而V的第三维度值是0

1.1 二维坐标系的Rotate Translate Scale Formula

要回答这些问题我们需要考虑这样的问题，在二维世界中如何对点P完成平移（translate）旋转（rotate）以及缩放（scale）操作。

考虑下图中的点P移动到P'，有公式如下：

translation.jpg

考虑下图中的点P旋转到P'-- 在左手坐标系下旋转角度θ的计算公式

rotation.png

接下來我們考虑缩放的情况，对二维坐标系内上X，Y轴分别进行放缩Sx，Sy，计算公式如下：

1.2 二维坐标系的Rotate Translate Scale Matrix

我们接下来考虑一个问题，如何方便的把RTS运算结合在一起呢？答案就是矩阵。原因很简单，矩阵运算天生满足结合律，我们把上述公式转换为矩阵运算后就可以用一个矩阵来表示RTS行为了，这为以后的复杂运算提供了便利。

根据上述的公式，我们可以很简单的得到Rotate Matrix&Scale Matrix

Rotate Matirx in left hand coordinate

Scale Matirx in left hand coordinate

在n维坐标系中，平移矩阵需要n+1维的向量完成平移操作。所谓的齐次坐标就是就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。

Translate Matirx in left hand coordinate

注意：以上的计算公式计算结果都是在同一个坐标系内部的，当我们使用XOY为basic coordinate的情况下，以上公式的计算结果都是在basic coordinate下的

进而我们把旋转矩阵和平移矩阵也引入齐次坐标来使得Rts Matrix可以结合，公式为：
Rotate Matirx in left hand coordinate

Scale Matirx in left hand coordinate

齐次坐标除了方便用于进行仿射（线性）几何变换以后。它还能够能够用来明确区分向量和点。

向量v是矢量，它没有平移的概念，通过齐次坐标的N+1维 = 0，使得它无法完成平移操作，但是仍然可以受到RS Matrix影响。

点P的齐次坐标的N+1维 = 1， 这就回答了问题2。

1.3 矩阵运算的左乘和右乘

由于矩阵运算满足如下规律：

我们以平移矩阵为例，根据上述公式可以改写成如下形式，这就是矩阵左乘：

我们把向量在左边的矩阵乘法称之为：矩阵左乘**
我们把向量在右边的矩阵乘法称之为：矩阵右乘**

ps：unity就是基于矩阵右乘的，我们可以通过简单的创建translate matrix来查看translate系数的所在位置来推测unity的矩阵是否右乘

     Matrix4x4 m  = Matrix4x4.Translate(new Vector3(5, 6, 7));

左乘和右乘在计算效率上有深入的考量，同时左乘右乘影响着rts矩阵的运算顺序，详情请看下文

1.4 矩阵的存储方式，行主序&列主序

针对一个特定的矩阵，它在内存中的线性存储的方式有两种：行主序 & 列主序

对于一个数组float[9] array
行主序的存储方式是：a - b - c - d - e - f - g - h - i
列主序的存储方式是：a - d - g - b - e - h - c - f - i

ps：unity的matrix4x4就是列主序的，请注意m.xy中x是行位置，y是列位置，他们和行主序列主序无关

2. 坐标系转换

上文讲述了在basic coordinate下针对一个点P的Rts Formula，计算结果一直都在同一个坐标系下。

现在我们考虑一个新的问题：

在一个给定的basic coordinate（左手坐标系or右手坐标系）下有一个点P，计算新的坐标系A下的点P'的值

举个例子，我们提供两个坐标系X''_O'_Y''和X_O_Y，如何计算在X''_O'_Y''坐标系下的P''点在X'_O'_Y'中的值呢？

coordinate_world_matrix.png

复杂的问题简单化，我们先计算X''_O'_Y''中的P''在X'_O'_Y'中的P'值：

然后，我们在X'_O'_Y'中的点P'计算 X_O_Y的最后结果P

把上述公式通过矩阵左乘的方式表达：

通过矩阵的转置计算公式，我们可以得到矩阵右乘的版本:

通过上述推导结果，我们能够观察到一些坐标系变换必须要注意的性质：

1. 矩阵的左乘&右乘直接影响了坐标系变化下的rotate translate顺序。设X_O_Y是basic coordinate，X''O''Y''是local coordinate，那么上述公式就成了local 2 world coordinate formula，通过矩阵右乘，局部坐标系P''变换到P需要先乘Mt，再乘Mr

从P_local变换到P_world坐标系下，可以分成三个步骤：

• X''_O'_Y'' 旋转到与X'O''Y'重合 -- 计算P''在X'O''Y'中的值P'
• X'_O'_Y' 缩放到与X_O_Y一致
• X'_O'_Y' 平移到与X_O_Y重合 -- 计算P'在X_O_Y的值P

2. unity中game object的transform.rotation是basic coordinate下旋转θ到transform local coordinate的旋转四元数。

vector3 p' = Matrix4x4.rotate(transform.rotation).multiPoint(p)

注意：如果p是basic coordinate下， p'仍然是basic coordinate下的，上述这样使用旋转四元数并不会让点实现坐标系变换

由于在左手坐标系下，世界坐标旋转θ的公式已知

将上述公式带入坐标系变换公式，就可以得到

所以给定一个transform和基于这个transform的local coordinate点P，计算这个P在世界坐标系的代码为：

  protected Vector3 Coordinate2World(Transform a, Vector3 a_local_p)
  {
    // transform.rotation equals FromToRotation(Vector3.forward, a.forward)
    //Quaternion q = Quaternion.FromToRotation(Vector3.forward, a.forward);
    //Matrix4x4 m_q = Matrix4x4.Rotate(q);

    Matrix4x4 m_q = Matrix4x4.Rotate(a.rotation);
    Matrix4x4 m_t = Matrix4x4.Translate(a.position);

    return (m_t * m_q).MultiplyPoint(a_local_p);
  }

这个旋转应用于一些特殊的向量就会有特殊的几何意义，比如vector.forward使用下面的代码

vector3 v' = Matrix4x4.rotate(transform.rotation).multiVector(v)

得到的V'就是local coordinate下vector.forward在basic coordinate中的值

3. 矩阵右乘的local coordinate <--> world coordinate matrix & 中，矩阵的相关位置对应着相应的功能，旋转&缩放相关的参数为R，平移相关的参数为T

矩阵右乘 --- 在local to world matrix中，T = obj.position - vector3.zero = obj.position = vec2(m02, m12)
矩阵右乘 --- 在world to local matrix中，T = -obj.position + vector3.zero = -obj.position = vec2(m02, m12)

小提示：由于unity是使用矩阵右乘的，我们在shader中可以很方便的在unity_ObjectToWorld获取物体的world position。

float4 worldCoord = float4(unity_ObjectToWorld._m03, unity_ObjectToWorld._m13, unity_ObjectToWorld._m23, 1);

4. 设X_O_Y和X''_O'_Y''都是local coordinate，这样我们就得到了一个广义的旋转矩阵推导，同时回答了第二章一开始提出的问题

在一个给定的坐标系A（左手坐标系or右手坐标系）下有一个点P，计算新的坐标系B下的点P'的值

从上文可以得到坐标系变换的头一步需要将 X''_O'_Y'' 的P''点变换到一个虚拟的坐标系X'O''Y'下，这一步需要X'O''Y'下旋转角度θ到X''_O'_Y'' 的矩阵和translate(O''_inworld - O'_inworld)，计算代码如下：

  protected Vector3 Coordinate2Coordinate(Transform a, Vector3 a_local_p, Transform b)
  {
    Quaternion q = Quaternion.FromToRotation(b.forward, a.forward);

    Matrix4x4 m_q = Matrix4x4.Rotate(q);
    Matrix4x4 m_t = Matrix4x4.Translate(a.position - b.position);

    return (m_t * m_q).MultiplyPoint(a_local_p);
  }

3. 总结

上文中的公式推导都是基于二维坐标系的，但是RTS的顺序，坐标系变换原理都是一样的，所有的rts变换在计算目标不同的时候公式是不同的。

在baisc coordinate下对P点进行旋转，平移，缩放得到的结果P'仍然是在basic coordinate中，而basic coordinate下有点P，获取local coordinate的坐标P'是另外一回事，不要搞混了。

下一篇文章会仔细推导一下三维坐标系的rts矩阵，和上述两种情况下的计算公式。

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烟柳画桥，风帘翠幕，参差十万人家。

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