第十章_概率_2019-03-30

介绍

1.在笔试面试中常作为客观问题出现（选择题）。
2、在笔试中往往出现概率、期望的计算。
3、往往利用古典概率进行计算（组合数学）。

概率的应用

1、利用概率改进著名算法（快速排序）
利用概率产生比较好的划分值，最终使算法的期望时间复杂度为O(n * logn)，所以概率一般用来打乱输入，打乱输入之后算法的复杂度和输入的分布没有关系，这样从概率上放置最坏情况的出现
2、随机数发生器
要产生纯随机序列是一个比较难的过程，通常面试中会给定一个随机数的发生器，让面试者利用这个发生器构造出另一个随机数的发生器，工程中，概率主要用于随机采样，即面试中会问如何利用一个随机数的发生器对一批数据进行采样。

经典题

• 有8支球队，其中有3支强队和5支弱队，随机把它们分成4组进行比赛，则强强相遇的概率是多少
  1、总共的分法有：7 * 5 * 3 * 1 = 105种
  2、两强不相遇的分法有： 种
  3、两强相遇的概率为 (105 - 60) / 105
• 3只蚂蚁，从正三角形的三个顶点出发，它们移动的速度相同，则碰头的概率是多少
  1、总共有2³种走法
  2、不相遇的走法有2种
  3、相遇的概率为：(8 - 2) / 8
• 一个地区重男轻女，每个家庭都是一直生小孩直到生男孩为止，问在足够长的时间后，该地区的男女比例是多少
  n / 2的家庭生了一个男孩，孩子数位1
  n / 4的家庭生了一个女孩一个男孩，孩子数位2
  n / 8的家庭生了两个女孩一个男孩，孩子数位3
  ……
  n / 2^k的家庭生了k - 1个女孩一个男孩，孩子数位k
  则足够长的时间后该地区孩子总数为1 * n / 2 + 2 * n / 4 + 3 * n / 8 + …… + k * n / 2^k = 2 * n
  每个家庭有一个男孩，所以共有n个男孩，所以男女比例为1 ：1
• 给定一个等概率随机产生1 ~ 5的随机函数f(n)，除此之外不能再用其他随机机制，请实现随机产生1 ~ 7的随机函数
  1、f'(n) = f(n) - 1：产生0 ~ 4的随机数
  2、f(n) = 5 * f'(n)：随机产生0、4、8、12、16、20中的数
  3、f(n) = f(n) + f'(n)：产生0 ~ 24的随机数
  4、用f(n)可产生1 ~ 20中的随机数（如产生随机数大于20则舍弃）
  5、f(n) = f(n) % 7：产生0 ~ 6之间的随机数
  6、f(n) = f(n) + 1：产生1 ~ 7之间的随机数
  其实这道题左神没有讲清楚本质，这道题本质就是得到一串均匀分布且长度大于等于7的连续序列即可（必须连续，这样才能保证对7取余后得到的0~6等概率），在这个序列里选中7个（或7的倍数个），若得到的数不是这7个中的，重新产生。这样这7个数的概率肯定是相同的。
• 给定以p概率产生0，以1 - p概率产生1的随机函数，p固定且未知，请实现等概率产生0 1随机数的随机函数，不可以使用额外的随机机制
  1、利用随机函数产生两个数，则产生序列为0 1和1 0的概率相等且为：p * (1 - p)
  2、两次利用随机函数产生一个序列，若产生0 1记0，若产生1 0记1，其他则舍弃
• 给定f()，等概率返回一个在[0, 1)区间的浮点数，则出现[0, x)区间数的概率为x，现给定一个属于0的整数k，请实现一个返回[0, 1)范围上数的函数，但[0, x)上数出现的概率为x^k
  调用函数f()k次，产生k个结果，返回所有结果中最大的那个数，如果返回值在[0, x)区间，则k次调用结果都在[0, x)区间，这种情况发生的概率为x^k
• 给定一个长度为n，且没有重复元素的数组arr和一个整数m，实现函数等概率打印arr中的m个数
  此题为无放回采样，实现过程中只需要产生采样区间内的随机数i，然后将arr[i]和采样区间的最后一个数交换，然后采样区间从尾部缩短一，重复这样的操作，直到采样数位m即可
• 有一个机器可以依次从小到大吐出按自然数编号的球，假设有一个袋子最多可以装入k个球，每次从袋子中倒出球后不可恢复，当机器一共吐出N个球时，袋子里共有k个球，请设计算法调整袋子中的球，使吐出的N个球中被选入袋子中的概率为k/N
  蓄水池抽样算法
  1、处理1~k号球时，直接放进袋子里。
  2、处理第i号球时，以k/i的概率的概率将球放入袋子，同时以1/k的的概率从袋子中扔掉任意一个球（随机扔掉任意一球），如果不把第i号球入袋则直接扔掉i号球
  • 证明：
    • 当1 1、吐出k + 1号球时i号球还在袋子里的概率为：1 - (k + 1号球被选中入袋的概率 * i号球被选中出袋的概率)，即：
      
      吐出k + 2号球时i号球还在袋子里的概率为：1 - (k + 2号球被选中入袋的概率 * i号球被选中出袋的概率)，即：
      
      吐出k + 3号球时i号球还在袋子里的概率为：1 - (k + 3号球被选中入袋的概率 * i号球被选中出袋的概率)，即：
      
      ……
      吐出N号球时i号球还在袋子里的概率为：1 - (N号球被选中入袋的概率 * i号球被选中出袋的概率)，即：
      
      2、从1 ~ N号球的过程中第i号球一直存在的概率为：吐出k + 1号球时i在袋子里的概率 * 吐出k + 2号球时i在袋子里的概率 * 吐出k + 3号球时i在袋子里的概率 * …… *吐出N号球时i在袋子里的概率 *，即：
      
    • 当k 1、吐出i + 1号球时i号球还在袋子里的概率为：1 - (i + 1号球被选中入袋的概率 * i号球被选中出袋的概率)，即：
      
      吐出i + 2号球时i号球还在袋子里的概率为：1 - (i + 2号球被选中入袋的概率 * i号球被选中出袋的概率)，即：
      
      吐出i + 3号球时i号球还在袋子里的概率为：1 - (i + 3号球被选中入袋的概率 * i号球被选中出袋的概率)，即：
      
      ……
      吐出N号球时i号球还在袋子里的概率为：1 - (N号球被选中入袋的概率 * i号球被选中出袋的概率)，即：
      
      2、从i + 1 ~ N号球的过程中第i号球一直存在的概率为：吐出i + 1号球时i在袋子里的概率 * 吐出i + 2号球时i在袋子里的概率 * 吐出i + 3号球时i在袋子里的概率 * …… *吐出N号球时i在袋子里的概率 *，即：
      

所以蓄水池抽样算法符合题意