LeetCode 2097. 合法重新排列数对【欧拉通路,DFS】2650

本文属于「征服LeetCode」系列文章之一，这一系列正式开始于2021/08/12。由于LeetCode上部分题目有锁，本系列将至少持续到刷完所有无锁题之日为止；由于LeetCode还在不断地创建新题，本系列的终止日期可能是永远。在这一系列刷题文章中，我不仅会讲解多种解题思路及其优化，还会用多种编程语言实现题解，涉及到通用解法时更将归纳总结出相应的算法模板。

为了方便在PC上运行调试、分享代码文件，我还建立了相关的仓库。在这一仓库中，你不仅可以看到LeetCode原题链接、题解代码、题解文章链接、同类题目归纳、通用解法总结等，还可以看到原题出现频率和相关企业等重要信息。如果有其他优选题解，还可以一同分享给他人。

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给你一个下标从 0 开始的二维整数数组 pairs ，其中 pairs[i] = [starti, endi] 。如果 pairs 的一个重新排列，满足对每一个下标 i （ 1 <= i < pairs.length ）都有 endi-1 == starti ，那么我们就认为这个重新排列是 pairs 的一个 合法重新排列 。

请你返回 任意一个 pairs 的合法重新排列。

注意： 数据保证至少存在一个 pairs 的合法重新排列。

示例 1：

输入：pairs = [[5,1],[4,5],[11,9],[9,4]]
输出：[[11,9],[9,4],[4,5],[5,1]]
解释：
输出的是一个合法重新排列，因为每一个 endi-1 都等于 starti 。
end0 = 9 == 9 = start1 
end1 = 4 == 4 = start2
end2 = 5 == 5 = start3

示例 2：

输入：pairs = [[1,3],[3,2],[2,1]]
输出：[[1,3],[3,2],[2,1]]
解释：
输出的是一个合法重新排列，因为每一个 endi-1 都等于 starti 。
end0 = 3 == 3 = start1
end1 = 2 == 2 = start2
重新排列后的数组 [[2,1],[1,3],[3,2]] 和 [[3,2],[2,1],[1,3]] 都是合法的。

示例 3：

输入：pairs = [[1,2],[1,3],[2,1]]
输出：[[1,2],[2,1],[1,3]]
解释：
输出的是一个合法重新排列，因为每一个 endi-1 都等于 starti 。
end0 = 2 == 2 = start1
end1 = 1 == 1 = start2

提示：

• 1 <= pairs.length <= 10^5
• pairs[i].length == 2
• 0 <= starti, endi <= 10^9
• starti != endi
• pairs 中不存在一模一样的数对。
• 至少 存在 一个合法的 pairs 重新排列。

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解法 欧拉路径+DFS

如果我们把数组 $pairs$ 中出现的每个数看成一个节点，$({\text{start}}_i,{\text{end}}_i)$ 看成从 ${\text{start}}_i$ 到 ${\text{end}}_i$ 的一条有向边，那么 $pairs$ 的一个合法排列就对应着：

• 从节点 $\text{pairs}[0][0]$ 开始；
• 依次经过 $\text{pairs}[0][1],\text{pairs}[1][1],\cdots ,\text{pairs}[n-1][1]$

的一条路径，其中 $n$ 是数组 $pairs$ 的长度。这条路径经过了图上的每一条边恰好一次，是一条「欧拉通路」，因此我们的目标就是找出图上的任意一条欧拉通路。

对于本题而言，首先需要找到欧拉通路的起始节点：

• 如果图中所有节点的入度和出度都相等，那么从任意节点开始都存在欧拉通路；
• 如果图中存在一个节点的出度比入度恰好多 $1$ ，另一个节点的入度恰好比出度多 $1$ ，那么欧拉通路必须从前一个节点开始，到后一个节点结束。
• 除此之外的有向图都不存在欧拉通路。

本题保证了至少存在一个合法排列，因此图已经是上述的两种情况之一。当我们确定起始节点后，就可以使用DFS求解欧拉通路了。如果我们得到的欧拉通路为：
$$v_1,v_2,v_3,\cdots ,v_n,v_{n+1}$$
那么 $[[v_1,v_2],[v_2,v_3],\cdots ,[v_n,v_{n+1}]]$ 就是一个合法排列。

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> validArrangement(vector<vector<int>>& pairs) {
        // 存储图
        unordered_map<int, vector<int>> edges;
        // 存储入度和出度
        unordered_map<int, int> deg;
        for (const auto& p: pairs) {
            edges[p[0]].push_back(p[1]);
            ++deg[p[0]], --deg[p[1]];
        }
        // 深度优先搜索（Hierholzer算法）求解欧拉通路
        vector<vector<int>> ans;
        function<void(int)> dfs = [&](int u) {
            while (!edges[u].empty()) {
                int v = edges[u].back();
                edges[u].pop_back(); // 删除一条边
                dfs(v);
                ans.push_back({u, v});
            }
        };     
        // 寻找起始节点
        for (const auto& [x, occ]: deg) // 如果有节点出度比入度恰好多 1，那么只有它才能是起始节点
            if (occ == 1) {
                dfs(x);
                break;
            }
        if (ans.empty()) dfs(pairs[0][0]);
        reverse(ans.begin(), ans.end());
        return ans;
    }
};

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$ ，其中 nnn 是数组 $pairs$ 的长度。图中有不超过 $n+1$ 个节点和 $n$ 条边，因此求解欧拉通路需要的时间为 $O(n)$ 。
• 空间复杂度：$O(n)$ ，即为存储图需要使用的空间。

求解欧拉通路使用DFS，可以参考「OI Wiki — 欧拉图」 ，一般使用 $\text{Hierholzer}$ 算法求解欧拉通路，与欧拉回路或欧拉通路有关的题目：

• 「332. 重新安排行程」
• 「753. 破解保险箱」