基础算法--前缀和与差分

1、前缀和

前缀和是指某序列的前n项和，可以把它理解为数学上的数列的前n项和，而差分可以看成前缀和的逆运算。合理的使用前缀和与差分，可以将某些复杂的问题简单化。

2、前缀和算法有什么好处？

先来了解这样一个问题：

输入一个长度为n的整数序列。接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。

我们很容易想出暴力解法，遍历区间求和。

代码如下

const int N = 1e5 + 10;
int a[N];
int n,m;
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
while(m--)
{
    int l, r;
    int sum = 0;
    scanf("%d%d", &l, &r);
    for(int i = l; i <= r; i++)
    { 
        sum += a[i];
    }
    printf("%d\n",sum);
}

这样的时间复杂度为O(n * m)，如果n和m的数据量稍微大一点就有可能超时，而我们如果使用前缀和的方法来做的话就能够将时间复杂度降到O(n + m)，大大提高了运算效率。

具体做法：

首先做一个预处理，定义一个sum[]数组，sum[i]代表a数组中前i个数的和。

求前缀和运算：

const int N = 1e5 + 10;
int sum[N], a[N]; //sum[i]=a[1]+a[2]+a[3].....a[i];
for(int i = 1;i <= n; i++)
{ 
    sum[i] = sum[i - 1] + a[i];   
}

然后查询操作：

 scanf("%d%d",&l,&r);
 printf("%d\n", sum[r] - sum[l - 1]);

对于每次查询，只需执行sum[r] - sum[l - 1] ，时间复杂度为O(1)

原理

sum[r] = a[1] + a[2] + a[3] + a[l-1] + a[l] + a[l + 1] ...... a[r];
sum[l - 1] = a[1] + a[2] + a[3] + a[l - 1];
sum[r] - sum[l - 1] = a[l] + a[l + 1] + ......+ a[r];

图解

这样，对于每个询问，只需要执行 sum[r] - sum[l - 1]。输出原序列中从第l个数到第r个数的和的时间复杂度变成了O(1)。

3、二维前缀和

如果数组变成了二维数组怎么办呢？

先给出问题：

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

同一维前缀和一样，我们先来定义一个二维数组s[][] , s[i][j] 表示二维数组中，左上角(1, 1)到右下角(i, j)所包围的矩阵元素的和。接下来推导二维前缀和的公式。

先看一张图：

紫色面积是指(1, 1)左上角到(i, j - 1)右下角的矩形面积, 绿色面积是指(1, 1)左上角到(i - 1, j )右下角的矩形面积。每一个颜色的矩形面积都代表了它所包围元素的和。

从图中我们很容易看出，整个外围蓝色矩形面积s[i][j] = 绿色面积s[i - 1][j] + 紫色面积s[i][j - 1] - 重复加的红色的面积s[i - 1][j - 1] + 小方块的面积a[i][j];

因此得出二维前缀和预处理公式

s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1 ] + a[i] [j] - s[i - 1][j - 1]

接下来回归问题去求以(x1,y1)为左上角和以(x2,y2)为右下角的矩阵的元素的和。

如图：

紫色面积是指 (1, 1)左上角到(x1 - 1, y2)右下角的矩形面积 ，黄色面积是指(1, 1)左上角到(x2, y1 - 1)右下角的矩形面积；

不难推出：

绿色矩形的面积 = 整个外围面积s[x2, y2] - 黄色面积s[x2, y1 - 1] - 紫色面积s[x1 - 1, y2] + 重复减去的红色面积 s[x1 - 1, y1 - 1]

因此二维前缀和的结论为：

以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
s[x2, y2] - s[x1 - 1, y2] - s[x2, y1 - 1] + s[x1 - 1, y1 - 1]

总结：

4、差分

5、一维差分

类似于数学中的求导和积分，差分可以看成前缀和的逆运算。

差分数组：
首先给定一个原数组a：a[1], a[2], a[3],,,,,, a[n];

然后我们构造一个数组b ： b[1], b[2], b[3],,,,,, b[i];

使得 a[i] = b[1] + b[2] + b[3] + ,,,,,, + b[i]

也就是说，a数组是b数组的前缀和数组，反过来我们把b数组叫做a数组的差分数组。换句话说，每一个a[i]都是b数组中从头开始的一段区间和。

考虑如何构造差分b数组？

最为直接的方法
如下：
a[0 ]= 0;

b[1] = a[1] - a[0];

b[2] = a[2] - a[1];

b[3] = a [3] - a[2];

…

b[n] = a[n] - a[n - 1];

图示:

我们只要有b数组，通过前缀和运算，就可以在O(n) 的时间内得到 a 数组 。

知道了差分数组有什么用呢？ 别着急，慢慢往下看。

话说有这么一个问题：

给定区间[l, r ]，让我们把a数组中的[l, r] 区间中的每一个数都加上c,即 a[l] + c , a[l + 1] + c , a[l + 2] + c ,,,,,, a[r] + c;

暴力做法是for循环l到r区间，时间复杂度O(n)，如果我们需要对原数组执行m次这样的操作，时间复杂度就会变成O(n * m)。有没有更高效的做法吗? 考虑差分做法，(差分数组派上用场了)。

始终要记得，a数组是b数组的前缀和数组，比如对b数组的b[i]的修改，会影响到a数组中从a[i]及往后的每一个数。

首先让差分b数组中的 b[l] + c ,通过前缀和运算，a数组变成 a[l] + c ,a[l + 1] + c,,,,,, a[n] + c;

然后我们打个补丁，b[r + 1] - c, 通过前缀和运算，a数组变成 a[r + 1] - c,a[r + 2] - c,,,,,,,a[n] - c;

为啥还要打个补丁？

我们画个图理解一下这个公式的由来:

b[l] + c，效果使得a数组中 a[l] 及以后的数都加上了c(红色部分)，但我们只要求l到r 区间加上 c, 因此还需要执行 b[r + 1] - c,让a数组中 a[r + 1]及往后的区间再减去c(绿色部分)，这样对于a[r] 以后区间的数相当于没有发生改变。

因此我们得出一维差分结论：给a数组中的[ l, r] 区间中的每一个数都加上c,只需对差分数组b做 b[l] + = c, b[r+1] - = c 。时间复杂度为O(1), 大大提高了效率。

总结：

6、二维差分

如果扩展到二维，我们需要让二维数组被选中的子矩阵中的每个元素的值加上c,是否也可以达到O(1)的时间复杂度。答案是可以的，考虑二维差分。

a[][]数组是b[][]数组的前缀和数组，那么b[][]是a[][]的差分数组

原数组： a[i][j]

我们去构造差分数组： b[i][j]

使得a数组中a[i][j]是b数组左上角(1,1)到右下角(i,j)所包围矩形元素的和。

如何构造b数组呢？
其实关于差分数组，我们并不用考虑其构造方法，因为我们使用差分操作在对原数组进行修改的过程中，实际上就可以构造出差分数组。

同一维差分，我们构造二维差分数组目的是为了 让原二维数组a中所选中子矩阵中的每一个元素加上c的操作，可以由O(n*n)的时间复杂度优化成O(1)

已知原数组a中被选中的子矩阵为 以(x1,y1)为左上角，以(x2,y2)为右下角所围成的矩形区域;

始终要记得，a数组是b数组的前缀和数组，比如对b数组的b[i][j]的修改，会影响到a数组中从a[i][j]及往后的每一个数。

假定我们已经构造好了b数组，类比一维差分，我们执行以下操作
来使被选中的子矩阵中的每个元素的值加上c

b[x1][y1] + = c ;

b[x1,][y2+1] - = c;

b[x2+1][y1] - = c;

b[x2+1][y2+1] + = c;

每次对b数组执行以上操作，等价于：

for(int i = x1;i <= x2;i++)
  for(int j = y1;j <= y2;j++)
    a[i][j] += c;

我们画个图去理解一下这个过程：

b[x1][y1] + = c ; 对应图1 ,让整个a数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。

b[x1,][y2+1] - = c; 对应图2 ,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。

b[x2+1][y1] - = c; 对应图3 ,让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。

b[x2+1][y2+1] + = c; 对应图4,让整个a数组中红色矩形面积的元素再加上c，红色内的相当于被减了两次，再加上一次c，才能使其恢复。

我们将上述操作封装成一个插入函数:

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{     //对b数组执行插入操作，等价于对a数组中的(x1,y1)到(x2,y2)之间的元素都加上了c
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

我们可以先假想a数组为空，那么b数组一开始也为空，但是实际上a数组并不为空，因此我们每次让以(i,j)为左上角到以(i,j)为右下角面积内元素(其实就是一个小方格的面积)去插入 c = a[i][j] ，等价于原数组a中(i,j) 到(i,j)范围内 加上了 a[i][j] ,因此执行 n*m次插入操作，就成功构建了差分b数组.

这叫做曲线救国。

代码如下：

  for(int i = 1;i <= n;i++)
  {
      for(int j = 1;j <= m;j++)
      {
          insert(i, j, i, j, a[i][j]);    //构建差分数组
      }
  }

当然关于二维差分操作也有直接的构造方法，公式如下：
b[i][j] = a[i][j] − a[i − 1][j] − a[i][j − 1] + a[i −1 ][j − 1]

二维差分数组的构造同一维差分思维相同，因次在这里就不再展开叙述了。

总结：