凸包及其算法

概念

凸包：一个能够将所有给定点围住的最小周长封闭图形。
稳定凸包：在当前组成凸包的点集 $V_0$ 中新增一个不在凸包上的点，形成新点集 $V_1$，若可以使 $V_1$ 中所有点都在 $V_1$ 的点的凸包上，则这个凸包不稳定。反之，则是稳定凸包。

求解凸包

问题

给定在平面直角坐标系中 $n$ 个点 $P_i(x_i,y_i)$，求解这些点的凸包。

思考

因为凸包是最小周长的封闭图形，所以凸包一定是由多条线段构成的，毕竟两点之间直线最短。

也就是说，凸包一定是多边形。说了跟说了一样

暴力算法

可以发现，对于凸包的一条边，这条边所在的直线一定使得所有点都在其左边或者右边。

所以枚举两个点 $P_0,P_1$，判断所有点是否在 $P_0{P}_1$ 同一边。

时间复杂度 $O(n^2)$

分治

横坐标最大和最小的两点一定在凸包上。而且这两点将凸包分为上凸和下凸。

然后分别对上凸包和下凸包用分治进行求解。

若是上凸包，假设当前分治到点 $P_l,P_r$ 之间，则 $P_{mid}$ 为在 $P_l{P}_r$ 上方离 $P_l{P}_r$ 最远的节点，然后继续分治 $P_l{P}_{mid},P_{mid}{P}_r$。

若是下凸包，则 $P_{mid}$ 为在 $P_l{P}_r$ 下方离 $P_l{P}_r$ 最远的节点。其他同理。

时间复杂度 $O(n\log n)$

Graham扫描法

设 $P_0$ 为 $y$ 坐标最小的点。（然后将 $y$ 坐标最小的点从 $P$ 中删除）

将除 $P_0$ 外点按照以 $P_0$ 为极点、任意一条从 $P_0$ 出发的射线为极轴的极坐标排序。（此处按逆时针方向排序）

然后将 $P_0$ 丢入当前凸包。

接下来假设 $P$ 已经按照极坐标排序，$D$ 表示凸包内的点（$D$ 内点按照加入顺序排序，即 $D_0$ 是第一个加入的）。

将排好序的点依次访问，更新凸包，假设当前点为 $P_i$，当前凸包内点为 $D_0,D_1,...,D_d$。

由于是逆时针排序的，所以 $D$ 中点按顺序组成的每条边相对与上一条边一定往左偏。

我们判断 $P_i{D}_d$ 与 $D_d{D}_{d-1}$ 的关系。若 $P_i{D}_d$ 相当于 $D_d{D}_{d-1}$ 往右偏，则 $D_d$ 在 $P_i{D}_{d-1}$ 左侧，我们将 $D_d$ 删除，然后 $d$ 减一。

若$P_i{D}_d$ 相当于 $D_d{D}_{d-1}$ 往左偏，则不需要删除。继续 $P_{i+1}$。

时间复杂度 $O(n\log n)$。