矩阵论复习笔记:盖尔圆的隔离技巧

1.Gerschgorin定理

对于复数矩阵$C=\{c_{ij}{\}}_{n\times n}$,其矩阵特征值满足:
$$\begin{gathered} |\lambda -c_{kk}|\le \sum _{j\ne k}|c_{kj}| \\ |\lambda -c_{kk}|\le \sum _{j\ne k}|c_{jk}| \end{gathered}$$
且$k$个圆盘组成的联通区域包含$k$个矩阵特征值。

2.例题

对$$A=\left(\begin{array}{cccc}-i& 0& -1& 1\\ -i& 7i& 1& 0\\ 2& 0& -20& -1\\ 9& 0& -6& -9\end{array}\right)$$矩阵进行隔离其特征值(要求画图显示)。

解:先画出$z$域下的$A$的盖尔圆:

看图发现要隔离联通区域的话首先得缩小$G_4$,那么可以设$D$如下:
$$D=\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & a\end{array}\right)$$
其中$0<a<1$,那么隔离后的矩阵$A$为:
$$B=DA{D}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}-i& 0& -1& 1/a\\ -i& 7i& 1& 0\\ 2& 0& -20& -1/a\\ 9a& 0& -6a& -9\end{array}\right)$$
得到新的盖尔圆如下:
$$\begin{gathered} G_1^{\ast }：|z+i|\le 1+\frac{1}{a} \\ {G}_2^{\ast }：|z-7i|\le 2 \\ {G}_3^{\ast }：|z+20|\le 2+\frac{1}{a} \\ {G}_4^{\ast }:|z+9|\le 15a \end{gathered}$$
重点在于要使得$G_4^{\ast }$不与其他三个圆相交,可以得到:
$$\begin{gathered} G_4^{\ast }与G_1^{\ast }相离:|9-i|=\sqrt{82}>1+\frac{1}{a}+15a \\ {G}_4^{\ast }与G_2^{\ast }相离:|7i+9|=\sqrt{130}>2+15a \\ {G}_4^{\ast }与G_3^{\ast }相离:|11|>2+\frac{1}{a}+15a \end{gathered}$$
首先根据第一个式子发现尝试$a=\frac{1}{3}$发现条件成立,同时能满足后面两个式子，因此取$a=\frac{1}{3}$,得到隔离之后的盖尔圆如下: