【每日一题】补档 ARC092D - Two Sequences | 思维和优化 | 困难

题目内容

原题链接

给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $a$ ，一个长度为 $n$ 的整数数组 $b$ 。

问所有 $a_i+b_j$ 的异或和是多少。

数据范围

$1\le n\le 200000$
$0\le a_i,b_i<2^{28}$

题解

思路1

考虑二进制第 $k$ 位，二进制位从第 $0$ 位开始。由于这里会产生进位，我们考虑什么情况下第 $k$ 位为 $1$ ，即 $n^2$ 个加法结果的第 $k$ 位有奇数个 $1$ 。

对于第 $k$ 位的结果，其必然只和前 $k$ 位的加法有关。

考虑 $a_{bit}=a_i\mathrm{mod}{2}^{k+1},b_{bit}=b_j\mathrm{mod}{2}^{k+1}$ 。
那么 $a_{bit}+b_{bit}$ 的结果的第 $k$ 位为 $1$ 有哪些情况呢
以 $k=2$ 为例：

• $[0100_2,0111_2]\to [2^k,2^{k+1}-1]$
• $[1100_2,1111_2]\to [3\cdot 2^k,2^{k+2}-1]$

和在这两个区间内的一对数，其第 $k$ 位为 $1$ 。

所以我们考虑枚举二进制位，然后枚举 $a_i$ ，二分答案 $b_j$ 即可，对于 $b$ 需要二分，所以就得排序，排序按照取模后的值进行排序。
时间复杂度：$O(29n\log n)$

思路2

考虑二分是有序的，我们可以对 $a$ 也进行排序。

然后进行两次双指针，一个用来考虑第一个区间 $[2^k,2^{k+1}-1]$ ，另一个用来考虑第二个区间 $[3\cdot 2^k,2^{k+2}-1]$ 。

但是由于排序的限制，时间复杂度不变。

时间复杂度：$O(29n\log n)$

思路3

现在瓶颈在于排序，一般来说，涉及到的排序问题是无法进行优化的。

但是这里不同，这里我们一个条件是需要枚举二进制位，并且从小到大枚举。

那么就是天然适配基数排序的，在这里，基数排序的复杂度被均摊到了每一个二进制位枚举中。

所以优化后时间复杂度为：$O(29n)$

代码1

#include 
using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    cin >> n;

    vector<int> a(n), b(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> b[i];

    auto bs1 = [&](int ai, int p, int x) {
        int l = 0, r = n;
        while (l < r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            if ((ai & p) + (b[mid] & p) >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return l;
    };

    auto bs2 = [&](int ai, int p, int x) {
        int l = 0, r = n;
        while (l < r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            if ((ai & p) + (b[mid] & p) > x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return l;
    };

    auto count = [&](int p, int minv, int maxv) {
        // 01000 ~ 01111
        int c = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int L = bs1(a[i], p, minv);
            if (L != n) {
                int R = bs2(a[i], p, maxv);
                if ((R - L) & 1) c += 1;
            }
        }
        return c & 1;
    };

    int ans = 0;
    for (int j = 1; j <= 30; ++j) {
        int mod = (1 << j) - 1;
        sort(b.begin(), b.end(), [&](const int x, const int y) {
            return (x & mod) < (y & mod);
        });

        // minv = 01000... ~ 01111...
        int minv = 1 << (j - 1);
        int maxv = (1 << j) - 1;
        int cnt = count(mod, minv, maxv);

        // minv = 11000... ~ 11111...
        minv = (1 << (j - 1))+ (1 << j);
        maxv = (1 << (j + 1)) - 1;
        cnt += count(mod, minv, maxv);

        if (cnt & 1) {
            ans |= 1 << (j - 1);
        }
    }

    cout << ans << "\n";

    return 0;
}

代码2

#include 
using namespace std;

const int MAX = 1000000;

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    vector<int> b(n);

    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> b[i];

    int ans = 0;
    for (int k = 0; k < 29; ++k) {
        int mask = (1 << (k + 1)) - 1;
        sort(a.begin(), a.end(), [&](const int x, const int y) { return (x & mask) < (y & mask); });
        sort(b.begin(), b.end(), [&](const int x, const int y) { return (x & mask) < (y & mask); });
        int l1 = n - 1, r1 = n - 1, l2 = n - 1, r2 = n - 1;
        int p = 1 << k, q = (1 << (k + 1)) - 1, r = 3 << k, s = (1 << (k + 2)) - 1;

        int cnt = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            while (l1 >= 0 && ((a[i] & mask) + (b[l1] & mask)) >= p) l1 -= 1;
            while (r1 >= 0 && ((a[i] & mask) + (b[r1] & mask)) > q) r1 -= 1;
            while (l2 >= 0 && ((a[i] & mask) + (b[l2] & mask)) >= r) l2 -= 1;
            while (r2 >= 0 && ((a[i] & mask) + (b[r2] & mask)) > s) r2 -= 1;
            cnt = (cnt + (r1 - l1) + (r2 - l2)) & 1;
        }
        if (cnt) ans |= 1 << k;
    }

    cout << ans << "\n";

    return 0;
}

代码3

#include 
using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    cin >> n;

    vector<int> a(n), b(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> b[i];

    int ans = 0;
    vector<vector<int>> nums(2, vector<int>(n));
    auto mySort = [&](int k, vector<int>& vec) {
        int c[2] = {-1, -1};
        for (auto u: vec) {
            int bit = u >> k & 1;
            nums[bit][++c[bit]] = u;
        }
        for (int i = 0, j = 0; i < 2; ++i) {
            for (int t = 0; t <= c[i]; ++t) {
                vec[j] = nums[i][t];
                j++;
            }
        }
    };

    for (int k = 0; k < 29; ++k) {
        int mask = (1 << (k + 1)) - 1;

        // sort 转换为基数排序
        mySort(k, a);
        mySort(k, b);

        int cnt = 0;
        int i = n - 1, j = n - 1, p = n - 1, q = n - 1;
        int l1 = 1 << k, r1 = (1 << (k + 1)) - 1, l2 = 3 << k, r2 = (1 << (k + 2)) - 1;
        for (int ai: a) {
            while (i >= 0 && (ai & mask) + (b[i] & mask) >= l1) i--;
            while (j >= 0 && (ai & mask) + (b[j] & mask) > r1) j--;
            while (p >= 0 && (ai & mask) + (b[p] & mask) >= l2) p--;
            while (q >= 0 && (ai & mask) + (b[q] & mask) > r2) r2 -= 1;
            cnt += (j - i) + (n - 1 - p);
        }
        if (cnt & 1) ans |= 1 << k;
    }

    cout << ans << "\n";

    return 0;
}