2020-06-19 (structure constants as worldsheet g function)

这周和上周的讨论班讲的是AdS/CFT integrability 一个新的发展：structure constants as worldsheet g function.
一篇很长的文章，涵盖的内容也很广泛，看完几遍后，内心的澎湃油然而生，在文字中能看到很多作者的心血，仿佛可以看到作者在写下那些文字时脸上兴奋的表情，可能也是因为其中两位作者都有接触过吧。

之前讲到Hexagon approach是计算一般3-point function的方法，虽然图像比较清楚，但是具体实施起来还是有一些困难的，因为涉及到对所有可能Hexagon configuration进行求和。但是还不存一个“可积性”的办法，把这个求和求出来。就比如我们知道怎么写2D Ising model的partition function但是在Onsager之前，是不知道怎么求解的。所以一个自然的问题，我们能求解Hexagon 么？这个问题好像还没人研究过。

但是我们可以把问题简化，考虑特殊的3-point function，这个3-point function对应的partition function 是由几个configuration 主导的，就是说这个partition function 可以用的leading term （saddle point）来近似。这样我们只需要找到leading term 就足够了。也就是这个3-point function 对应的不是一个统计系统而是一个热力学系统，我们只需要解状态方程即可。

问题是什么样的3-point function有这样的性质呢？这篇文章给出的一个答案就是：其中两个operator 为determinant operator，另外一个single trace operator。 考虑这样的情形的动机是来自于AdS/CFT correspondence。在引力的图像里，轻的（conformal dimension 小）的operator 对应的是弦的激发,并且不用考虑把对AdS背景的back reaction。当operator的conformal dimension 达到一定程度的时候（order N），这些种的激发可以认为是沿geodesic 运动的经典的粒子，对应的也不再是string而是D-brane。所以D-brane对应的在CFT里面的operator应该也有同样的经典描述，因为stringy exclusion principle，single trace operator 已经不是一个很好的描述，D-brane 对应的应该是Schur polynomial operator，典型的就是determinant operator。我们可以继续引申下去，当operator的conformal dimension 继续增加的时候，达到 N^2 也就是Newton constant 的量级的时候，D-brane 的图像有break down 了，这时对应的就是所谓的bubble geometry，在CFT这边对应了一些费米operator。或许这也是可以考虑的一种特殊的3-point function。

现在我们就考虑这样的3-point function，在弦论的图像里，D-brane 是作为弦论worldsheet的边界的存在，所以我们把这个3-point function 看成是string state 与边界态的 overlap。我们先考虑最简单的情况，这个string state是vacuum 也就是ground state。这个overlap对应的函数就是g-function。什么时候我们只需要考虑ground state 呢，就是温度为0的时候。所以我们也可以把g-function看成是 给定某种边界条件后的partition function 在0温时的极限。这样我们可以用一个Zamolodchikov的trick，做一个mirror transformation，把时间和空间方向互换，这样这个partition function就表述了一个无穷体积里的某一个非0温度的thermal partition function，这样就可以引入S-matrix的概念还有使用Thermal Bethe Ansatz （TBA） 了。有了ground state 对应的g-function，excited state 对应的overlap根据TBA的精神是可以通过对ground state 的g-function 做解析延拓得到。这样我们有了一个用可积性方法求这种特殊3-point function 的方法。
这里给我的提示就是，任何与基态相关的物理量，我们都可以尝试用TBA 来求。把结果延伸到一个的态，需要解析延拓。

目前未解决的问题是，之前提到要引入S-matrix。知道S-matrix是使用TBA的先决条件。我们现在的问题是不但有一般的state与state之间的S-matrix，还有state于边界散射的S-matrix。state与state之间的S-matrix在求2-point function的时候已经由可积性的方法bootstrap 出来。同样的思路，我们是不是也能bootstrap 出边界的S-matrix。但是在bootstrap 之前要先确定边界是可积的。
因为在没有边界的时候，对一个无穷的spin chain，这个spin chain确实是可积的，但是加入边界态后，可积性有可能会被破坏。
什么样的边界条件是可积的，应该是有一些结论的，可能这里需要挖掘一下文献。文章的做法是通过微扰计算的data来 说明可积性，所以这里是一个conjecture。

那我们回到微扰计算图像。微扰计算的就是一个3-point function，这个计算是在CFT这边做的。当然还是标准的利用wick contraction求费曼图。但是问题是我们不能只看planar diagram 了，因为determinant operator 特殊的order，会有一些non-planner diagram的虽然单独一个是subleading的，但是他们数量很多，总的效果会与planar diagram 的贡献相当。所以直接做wick contraction 十分的复杂。文章的第二个亮点就是发展了一个新的（其实是两个）微扰计算的方法。核心的想法是Gopacumar 的Open-close-open duality。这个trick或者图像还是很有意思的，通过integrate in 再integrate out 一些auxiliary 场，最后能把determinant operator 转化成一个对偶的 matrix model。这里的想法与localization 也很像。这个matrix model 的action是正比于N的，这样就可以用saddle point 近似了，而且1-loop 的fluctuation 也相对容易计算。
算完发现，3-point function 的形式与在 domain wall 背景的1-point function的形式类似。就可以引用之前的结果。这个3-point function的特点是就是
1： 有一个selection rule：就是magnon（这里考虑的state 是 bethe state）的个数还有spin chain 的长度必须是整数，而且 bethe root满足 parity symmetry，就是root 都是成对（positive root与negative root）出现。
2： 结果依赖Fredholm determinant。

这两个特点是怎么联系上可积边界条件的呢？

首先我们还是用overlap的图像：我们考虑一个平移不变的state R与一个asymptotic state P的overlap，这个asymptotic state P可以理解为散射里面的outgoing state（所以由每个散射粒子的动量和能量的来label）。因为R是平移不变的，所以P总动量为0，因为我们是一个2维的理论，动量就是一个数，总动量为0，说明有些动量是正的，有些负的，我们就可以分成两组。
我们也可以把这个overlap 看成一个form factor。然后做一个mirror transformation ，动量能量互换。在mirror theory里，这个asymptotic state P 变为P'，他的有些能量是正的，有些事负的，总能量是守恒的。对于负的能量我们用一个crossing transformation，把它们变成incoming state，这样他们的能量就为正的了，但是动量反向了。这时我们的form factor 就写成了一个散射矩阵的形式（ ）。 下面我们假设mirror theory 具有parity symmetry，就是正动量 和 负动量是一一对应的，那们就是说每一个incoming particle 都对应了一个outgoing particle，并且动量不变，能量不变，没有particle creation，这正是可积散射的性质。我们可以认为我们的form factor 在加入parity symmetry 之后在mirror theory 里面就对应了一个可积的边界散射矩阵。我们现在已经解释了selection rule 与可积边界的联系。还剩下Fredholm determinant。

通过微扰计算得到的selection rule算是一个可积性的证据。那我们就大胆的假设可积性，然后我们来求这个overlap：g-function。利用mirror transformation 我们已经把他转化成一个thermal quantity。当然我们可以用saddle point 近似，并且1-loop的correction也能可以算出来：来自于saddle point 附近的fluctuation的贡献，是一个Gauss 积分，正好给出一个determinant，而且是我们期待的Fredholm determinant。这就是我们可积性假设的自洽性检验。有了可积性，我们就可以bootstrap出边界散射，从而可以写出g-function 的TBA了。

ps，应该是最后一次在pku的可积性讨论班了，感谢这两年一直参与讨论的同学，是让我坚持下来的动力。