期权系列:二叉树定价模型

最近为了更加深入得学习期权,我把忘了个底朝天的数学重新拿了起来。从高中数学开始,我会一直复习到微积分,一直到我搞懂 BSM 公式中的每一个步骤,以及他们衍生出来的数学知识。套用马克思的话,有百分之五十的利润,人类就会铤而走险;为了百分之一百的利润,人类就敢践踏一切人间法律。而对于 20 多岁的我来说,期权里面包含的无限可能,就能让我无视掉智商被碾压的羞辱感。

废话不多说,下面是推导的步骤(没接触过期权的同学基本可以不用看)

假设某股票 XYZ,其价格目前为 20 元,并且通过一些条件知道,这个股票在三个月将会变为 22 元,或者 18 元。接下来要做的,就是为三个月后,行权价为 21 的 Call Option 定价。由于 Call Option 的性质,当 XYZ 在三个月达到 22 元时,期权的价格为 1 元;若三个月后降为 18,则该 Call Option 作废,价值为 0。

二叉树模型比较简单的地方在于,不像 BSM 模型,我们只需要引入一个假设条件就可以继续往下推算,即「市场没有套利的机会」,因此如果使用股票和 Call Option 的空头来构造一个无风险头寸,则可以得到:

22∂ - 1 = 18∂

解得 ∂=0.25,即在这个头寸中,我们需要买入 0.25 股 XYZ(什么,股票还可以买小数股?没错,还真可以!我们公司就提供了美股碎股交易的 API,需要请联系我),不管三个月后 XYZ 价格是 22 还是 18,只要在这个区间内,这个头寸(0.25 股 XYZ 以及一份看涨期权的空头)的收益都会是 22 * 0.25 - 1 = 4.5

由于该头寸是风险的,所以三个月后 4.5 的收益,就是无风险收益。假设市场的无风险收益是年化 12%,根据复合增长率的公式,假设该头寸当前价值为 µ,则

µ * ℮^(0.12*3/12) = 4.5

解得 µ ~= 4.3670,把它代入下面这个方程:

20 * ∂ - c = µ

∂, µ 这两个变量现在是已知的,因此我们可以知道期权的价格 c 为

20 * ∂ - µ = 20 * 0.25 - 4.3670 = 0.633

没了,整个推导过程就是这样,在该模型下,这个三个月后到期,XYZ 执行价格为 21 的购期权价格就是 0.633,是不是很简单?

后面还有这个过程的通用化公式以及其他扩展,下次继续,最近几天肯定更。

推广

基于上面的推导过程,可以将整个过程通用化。

假设当前 XYZ 的价格为 Sn,其某个期限为 T 的期权的价格为 Fn。在该时间内,XYZ 的价格可能会涨到 Su,期权的价格为 Fu,或者跌倒 Sd,期权的价格为 Fd。

接下来开始构造我们的无风险收益仓位:

同样是 ∂ 单位的股票多头,以及一份 Call Option 的空头,若接下来股票上涨,则整个头寸的价值为:

Su∂ - Fu

若 XZY 下跌,则头寸的价值为:

Sd∂ - Fd

由于该头寸无风险,故:

Su∂ - Fu = Snd∂ - Fd

解得:

∂ = (Fu - Fd)/(Su - Sd)

∂ 在这里即是 XYZ 多头的单位,也可以表示期权的价格变化与股票价格变化的比率。

由于无风险,我们可以求得若 T 时间后股票价格为 Su,则整个头寸的当前价值为:

V = (Su∂ - Fu)/e^(rT)

因此可以得到:

V = Sn∂ - F = (Su∂ - Fu)/e^(rT)

解得:

F = ∂(1 - Su℮^-rT) + Fu℮^-rT

把 ∂ 代入得:

F = Sn∂ - (Su∂ - Fu)/e^(rT)
  = ∂[Sn - Su/e^(rT)] + Fu/e^(rT)

∂ = (Fu - Fd)/(Su - Sd)

这公式即为二叉树模型下期权价格的计算公式,我们把最上面的数字代进去:

Sn = 20
Su = 22
Sd = 18
Fu = 1
Fd = 0
r = 0.12
T = 0.25
∂ = 0.25

得到 F = 0.633,和最开始的例子一样

F = 0.25(20-22/e^(0.12*0.25)) + 1/e^(0.12*0.25) = 0.633

https://mp.weixin.qq.com/s/ROAs29mWG8-6SSy_0WvzjQ
https://mp.weixin.qq.com/s/nTfdb1loEyP0--nMU3n2Qw

你可能感兴趣的:(期权系列:二叉树定价模型)