期权系列：二叉树定价模型

最近为了更加深入得学习期权，我把忘了个底朝天的数学重新拿了起来。从高中数学开始，我会一直复习到微积分，一直到我搞懂 BSM 公式中的每一个步骤，以及他们衍生出来的数学知识。套用马克思的话，有百分之五十的利润，人类就会铤而走险；为了百分之一百的利润，人类就敢践踏一切人间法律。而对于 20 多岁的我来说，期权里面包含的无限可能，就能让我无视掉智商被碾压的羞辱感。

废话不多说，下面是推导的步骤（没接触过期权的同学基本可以不用看）

假设某股票 XYZ，其价格目前为 20 元，并且通过一些条件知道，这个股票在三个月将会变为 22 元，或者 18 元。接下来要做的，就是为三个月后，行权价为 21 的 Call Option 定价。由于 Call Option 的性质，当 XYZ 在三个月达到 22 元时，期权的价格为 1 元；若三个月后降为 18，则该 Call Option 作废，价值为 0。

二叉树模型比较简单的地方在于，不像 BSM 模型，我们只需要引入一个假设条件就可以继续往下推算，即「市场没有套利的机会」，因此如果使用股票和 Call Option 的空头来构造一个无风险头寸，则可以得到：

22∂ - 1 = 18∂

解得 ∂=0.25，即在这个头寸中，我们需要买入 0.25 股 XYZ（什么，股票还可以买小数股？没错，还真可以！我们公司就提供了美股碎股交易的 API，需要请联系我），不管三个月后 XYZ 价格是 22 还是 18，只要在这个区间内，这个头寸（0.25 股 XYZ 以及一份看涨期权的空头）的收益都会是 22 * 0.25 - 1 = 4.5

由于该头寸是风险的，所以三个月后 4.5 的收益，就是无风险收益。假设市场的无风险收益是年化 12%，根据复合增长率的公式，假设该头寸当前价值为 µ，则

µ * ℮^(0.12*3/12) = 4.5

解得 µ ~= 4.3670，把它代入下面这个方程：

20 * ∂ - c = µ

∂, µ 这两个变量现在是已知的，因此我们可以知道期权的价格 c 为

20 * ∂ - µ = 20 * 0.25 - 4.3670 = 0.633

没了，整个推导过程就是这样，在该模型下，这个三个月后到期，XYZ 执行价格为 21 的购期权价格就是 0.633，是不是很简单？

后面还有这个过程的通用化公式以及其他扩展，下次继续，最近几天肯定更。

推广

基于上面的推导过程，可以将整个过程通用化。

假设当前 XYZ 的价格为 Sn，其某个期限为 T 的期权的价格为 Fn。在该时间内，XYZ 的价格可能会涨到 Su，期权的价格为 Fu，或者跌倒 Sd，期权的价格为 Fd。

接下来开始构造我们的无风险收益仓位：

同样是 ∂ 单位的股票多头，以及一份 Call Option 的空头，若接下来股票上涨，则整个头寸的价值为：

Su∂ - Fu

若 XZY 下跌，则头寸的价值为：

Sd∂ - Fd

由于该头寸无风险，故：

Su∂ - Fu = Snd∂ - Fd

解得：

∂ = (Fu - Fd)/(Su - Sd)

∂ 在这里即是 XYZ 多头的单位，也可以表示期权的价格变化与股票价格变化的比率。

由于无风险，我们可以求得若 T 时间后股票价格为 Su，则整个头寸的当前价值为：

V = (Su∂ - Fu)/e^(rT)

因此可以得到：

V = Sn∂ - F = (Su∂ - Fu)/e^(rT)

解得：

F = ∂(1 - Su℮^-rT) + Fu℮^-rT

把 ∂ 代入得：

F = Sn∂ - (Su∂ - Fu)/e^(rT)
  = ∂[Sn - Su/e^(rT)] + Fu/e^(rT)

∂ = (Fu - Fd)/(Su - Sd)

这公式即为二叉树模型下期权价格的计算公式，我们把最上面的数字代进去：

Sn = 20
Su = 22
Sd = 18
Fu = 1
Fd = 0
r = 0.12
T = 0.25
∂ = 0.25

得到 F = 0.633，和最开始的例子一样

F = 0.25(20-22/e^(0.12*0.25)) + 1/e^(0.12*0.25) = 0.633

https://mp.weixin.qq.com/s/ROAs29mWG8-6SSy_0WvzjQ
https://mp.weixin.qq.com/s/nTfdb1loEyP0--nMU3n2Qw