剑指Offer第一章 整数 1-整数除法

第一章 整数

1.1整数的基础知识

整数是一种基本的数据类型。编程语言可能会提供占据不同内存空间的整数类型， 每种类型能表示的整数范围也不同。例如，Java中有4种不同的整数类型，分别为：

byte：（8位）（-2的7次方~2的7次方-1）
short：（16位）（-2的15次方~2的15次方-1）
int：（32位）（-2的31次方~2的31次方-1）
long：（32位）（-2的63次方~2的63次方-1）

Java中的整数类型都是有符号整数，即如果整数的二进制表示的最高位为0则表示其为正数，如果整数的二进制 的最高位为1则表示其为负数。有些语言（如C/C++）支持无符号整数。无符号整数无论二进制表示的最高位是0还是1，都表示其为一个正数。无符号的32位整数的范围是0~2的32次方-1。

通常，变成语言中的整数运算都遵循四则运算规则，可以使用任意嵌套的小括号。需要注意的是，由于整数的范围限制，如果计算机过超出范围则会产生溢出。产生溢出时运行不会出错，但结果计算会出乎意料。如果除数为0，那么整数的除法在运行时将报错。

面试题1：整数除法

题目： 输入2个int型整数，它们进行除法计算并返回商，要求不得使用乘号*、除号/及求余符号%。当发生溢出时，返回最大的整数值。假设除数不为0。例如，输入15和2，输出15/2的结果，即7。

分析： 这个题目限制我们不能使用称号和除号进行运算。一个直观的解法是基于减法实现除法。例如， 为了求得15/2的商，可以不断地从15里减去2，当减去7个2之后余数是1，此时不能再减去更多的2，因此15/2的商是7，我们可以用一个循环实现这个过程。但这个直观的解法存在一个问题。当被除数很大但除数很小时，减法操作执行的次数会很多。例如，求（2的31次方-1）/1，减1的操作将执行2的32次方-1次，需要很长的时间。如果被除数是n，那么这种解法的时间复杂度为O（n）。我们需要对这种解法进行发优化。

但这个直观的解法稍作调整。当被除数大于除数时，继续比较判断被除数是否大于除数的2倍，如果是，则继续判断被除数是否大于除数的4倍、8倍等。如果被除数最多大于除数的2的k次方倍，那么将被除数减去除数的2的k次方倍，然后将剩余的被除数重复前面的步骤。由于每次将除数翻倍，因此优化后的时间复杂度是O（logn）。

下面以15/2为例子讨论计算的过程。15大于2，也大于2的2倍（即4），还大于2的4倍（即8），但是小于2的8倍（即16）。于是先将15减去8，还剩余7。由于减去的是除数的4倍，减去这部分对应的商是4。接下来对剩余的7和除数2进行比较，7大于2，大于2的2倍（即4），但小于2的4倍（即8），于是将7-4，还剩余3。这一次减去的是除数2的2倍，对应的商事2。然后对剩余的3和除数2进行比较，3大于2，但是小于2的2倍（即4），于是将3减去2，还剩余1。这一次减去的是除数的1倍，对应的商是1。最后剩余的数字是1，比除数小，不能再减去除数了。于是15/2的商是4+2+1，即7。

上述讨论假设被除数和除数都是正整数。如果有负数则可以将它们先转换为正数，计算整数的除法之后再根据需要调整商的正负号。例如，如果计算15/2，则可以先计算15/2，得到的商是7。由于被除数和除数中有一个负数，因此商应该是负数，于是商应该是-7。

将负数转换成整数存在一个小问题。对于32位的整数而言，最小的整数是-2的31次方，最大的数是2的31次方-1。因此。如果将-2的31次方转换位正数则会导致溢出。由于将任意正数转换位负数都不会溢出，因此可以先将正数都转换位负数，用前面优化之后的减法计算两个负数的除法，然后根据需要调整商的正负号。

最后讨论可能的溢出。由于是整数的除法并且除数不等于0，因此商的绝对值一定小于或等于被除数的绝对值。因此，int型整数的除法只有一种情况会导致溢出，即（-2的31次方）/（-1）。这是因为最大的正数位2的31次方-1，2的31次方超出了正数的范围。

再全面地分析了使用减法实现除法的细节之后，我们可以开始编写代码。参考代码如下:

Code

package chapter_01;

/**
 * 整数整除
 *
 * @author : lx
 * @date : 2021/08/15 下午 11:22
 */
public class Question01 {

	/**
	 * 最小int型整数
	 */
	int MIN_INT_VALUE = 0x80000000;

	/**
	 * 最小int型整数的一半
	 */
	int MIN_INT_VALUE_HALF = 0xc0000000;

	/**
	 * 开放用于调用进行除法的方法
	 *
	 * @param dividend
	 * @param divisor
	 * @return
	 */
	public int divide(int dividend, int divisor) {
		// 最小数除以-1的反转处理
		if (dividend == MIN_INT_VALUE && divisor == -1) {
			return Integer.MAX_VALUE;
		}
		int negative = 2;
		// 被除数大于0，反转为负数
		if (dividend > 0) {
			negative--;
			dividend = -dividend;
		}
		// 除数大于0，反转为负数
		if (divisor > 0) {
			negative--;
			divisor = -divisor;
		}
		// 做实际除法计算：被除数与除数有且只有一个被反转，计算结果反转，否则，直接使用计算结果
		// 即对负数除法的计算
		int result = divideCore(dividend, divisor);
		return negative == 1 ? -result : result;

	}

	/**
	 * 进行除行为的核心方法
	 *
	 * @param dividend
	 * @param divisor
	 * @return
	 */
	private int divideCore(int dividend, int divisor) {
		// 初始化结果为0
		int result = 0;
		// 当被除数小于等于除数时循环执行
		while (dividend <= divisor) {
			// 临时变量存储除数
			int value = divisor;
			// 初始化商为1
			int quotient = 1;
			// 当除数小于最小int型整数的一半时 并且 被除数小于等于2倍的除数，因为此题不允许使用*号所以自己加自己
			while (value >= MIN_INT_VALUE_HALF && dividend <= value + value) {
				// 商值加上商值重新赋值给 变量商
				quotient += quotient;
				// 除数加上除数重新赋值给 变量临时变量value（上面有提到，临时变量value实际存储的是除数的值）
				value += value;
			}
			// 结果加上商值重新赋值给 变量结果（result）
			result += quotient;
			// 被除数减去除数重新赋值给 变量被除数
			dividend -= value;
		}
		return result;
	}

	public static void main(String[] args) {
		System.out.println(new Question01().divide(15, 2));
		// 控制台打印结果 : 7
	}
}

上述代码中的0x80000000为最小的int型整数，即-2的31次方，0xc0000000是它的一半，即-2的30次方。

函数divideCore使用减法实现两个负数的除法。当除数和被除数中有一个负数时，商为负数。因此，在使用函数divideCore计算商之后，需要再根据除数和被除数的负数的个数调整商的正负号。