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离散数学-代数系统4-同构

离散数学-代数系统4-同构_第1张图片

从同构的定义可以看出来 ：在同态的基础上， 新增的函数对应f，将两个代数系统联系起来必须是双向的，也就是双射

由定义可知,同构的条件比同态的严格,因为同构映射是双射,即一 一对应。而同态映射不一定要求是双射。正因为如此,同构不再仅仅像满同态那样对保持运算是单向的，而是双向的。两个同构的代数,表面上似乎很不相同,但在结构上实际是没有什么差别的，只不过是集合中的元素名称和运算的标识不同而已。当探索新代数结构的性质时，如果发现或者能够证明该结构同构于另外一个性质已知的代数结构,便能直接知道新的代数结构的各种性质。对于同构的两个代数系统来说,在它们的运算表中除了元素和运算的标记不同外，其他都是相同的。因此，可以根据这些特征来识别同构的代数系统。
 


 

离散数学-代数系统4-同构_第2张图片

 

这里我解释一下，这个 +4 的含义： 是模4加法，   是运算符号，x+4y不是x加4倍y,是x通过+4这个运算符号，和y相加模4，如果不理解这个。炸一看会很奇怪，其实看完下面这个表之后，我们发现其实同构与同态的本质区别其实是对应映射函数的选择，如果满足双射，并且在运算上满足运算的像等于像的运算，就是同构。

离散数学-代数系统4-同构_第3张图片

 

给出一道例题，不需要计算，明白过程操作即可

 

 

可以看出这两个代数系统都有两个运算规则，  但是我们不能惯性思维认为同构运算是位置上一 一对应的，不是说S的代数系统中第一个代数规则就一定得对应T的运算第一个规则

这是需要根据具体计算而言

下面我梳理一下步骤：

首先我们对应一下运算，哪个运算对应哪个运算

接着我们把相应代数系统中的元素一 一对应上，构成双射

接着我们分别验证两个运算规则是不是运算的像等于像的运算。

离散数学-代数系统4-同构_第4张图片

 

接下来我们总结一下同构和同态

离散数学-代数系统4-同构_第5张图片

 

这个规律是对于满同态来说的，那么对于同构来说就是双向的，由一方就能推出另一方，这也符合相关含义

下一节说说同余关系

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