数学漫谈1

昨天，一位同事的女儿在微信中问我，“伯伯，0.9的循环和1哪个大？”，这问题已见了好多年，我当然不假思索的答道:“一样大，完全相等”。同事似有些懵，吃惊的问“明明1大呀”。这个解释可以从极限来讲，也可以从无穷等比数列的和来讲，估计我的解释她也是听的半信半疑，只是礼貌的谢我。也许这一种解释好理解

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想想也真的有趣，估计百分之八十的人和她有相同的观点。他们能理解1/3等于0.3的循环,2/3等于0.6的循环，也知道1/3加2/3是1,0.3的循环加0.6的循环是0.9的循环。就是不能接受0.9的循环等于1，老觉得两者差一点点，感觉这玩意靠不住。

数学就这样奇妙，其实无限循环小数就是分数(包括整数)，只是不同的写法而已，古希腊人所谓的“万物皆数”，就是这样的数，即能写成整数之比的数，很霸气的名字“有理数”。如今在这个数字化的世界里，是不是觉得人家确实是先知先觉？这个数学学派的领袖就是赫赫有名的毕达哥拉斯，西方人认为勾股定理就是他最先发现，实际比我们中国人晚。

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这帮人对有理数的崇拜到了狂热的地步，任何怀疑都被认为大逆不道。然而，在一次航海途中，老毕的一个学生，闲来无事，忽发奇想，直角边为1的等腰直角三角形斜边长多少？他用师传的镇派大法一算，却怎么也不等于一个有理数。惶恐之余，他把这一发现告诉了师兄弟，并提出了自己的怀疑。师兄弟也是懵住了，难道还有其他幽灵的数在作祟，不！一定是始发现者魔鬼上身，迷了心窍，竟然怀疑真理，罪该万死。于是为了除魔卫道，这位可怜的发现者连夜被装进麻袋，扔到了大海里。

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可是这个幽灵终究不散，此类问题越来越多，怎么办？这些希腊人竟另辟蹊径，干脆放弃运算，专心于图形研究，数学在他们眼里就是“几何学”，他们的思路之巧妙，手法之高超令现代人也望尘莫及。最最有名的当然是号称有史以来三大数学家之一的阿基米德，人们大多听说过他智断国王皇冠是否为纯金的故事，津津乐道他的名言“给我一个支点，我就能撬动地球”。其实他最具天才的是，在2千2百年前，就能用匪夷所思的方法“穷竭法”计算圆，即在圆的内外各做一个正多边形，让边数无限增加，形状愈接近圆，而二者面积相差无几，夹在中间的圆面积能跑到哪里？要多精确就能多精确。类似的手法，他得到了弓形，抛物形的面积，及球，椭球，圆柱，圆锥的体积。最早使用了极限的思想，远远超越了那个时代，更超过了我们引以为傲的祖冲之，也超越了今天大多数人的思维水平，不服不行！

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阿基米德死后，西方人的文明大倒退，进入了漫长而又野蛮的中世纪。直到17世纪，又一位天才横空出世，那就是被苹果幸运砸中的牛顿。他自称站在巨人的肩上，可谁又能撑的起他？数学的天空上，他永远是一颗璀璨无比的超级巨星。他把一条曲线看成一点掠过的痕迹，静止变成运动。描述一点状态时，用了无限趋于0的一段线，比如变速直线运动中，计算某一刻的瞬时速度，他会取一段时间，写出这段时间的平均速度式子，然后让这段时间无限小，极限就是某一时间点，这时平均速度极限值就是瞬时速度。他这一丝灵光，开启了微积分时代的到来，照亮了近代数学前行的道路，所取得的成就又推动了技术的突飞猛进，使的我们眼里的蛮族一下子船坚炮利。遗憾的是，我国被远远的甩开了，落后必遭挨打，可叹可悲，唉！这就是不重视数学的恶果。今天人们可以计算各种复杂几何体的表面积，体积，可以模拟出各种飞机，飞船，导弹的飞行轨迹，哪一步能离开了计算？

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如果说某些学科超越时代太远，数学绝对算一个。在我们身处欧氏几何的空间中，几百年前的数学家竟已提出五花八门，形形色色的几何学。那一个个扭曲的空间理论，甚至都不能意会。看看这个神奇的莫比乌斯带。这个纸带几个面？只有一个，也就是二维空间，上面如果一个虫子，可以爬到任一地方，无须翻越边缘。当然更神奇的是，你沿中间剪开，你会惊讶，它并没有一分为二，试试就知道。

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忽然想到，另一个有文明的星球也许和我们只隔着薄薄的带子，和我们紧挨着，甚至我们能听到他们的声音，接受到他们奇怪的信息。可要找到它，太难了，在我们认知世界里，必须沿着带子，经过漫长的旅途，才可到达，即使光也走这样的路径。如果找到捅开带子的虫洞，一下就到了，最远的竟是最近的，可惜找不到。也许这就是低维空间的人，永远无法体会高维空间的便捷。然而数学家早就建立起了高维空间的种种理论，只是没有派上用场。在这条神奇的带子上，会有好多让你瞠目结舌的特性。

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还有数论，当年读到陈景润在三尺斗室苦苦探讨“1+1”,即哥德巴赫猜想，有多少人和我一样，嘴上称赞“摘取了数学皇冠上一颗明珠”，心里却在想“吃饱了撑得，百无一用数学家”。谁能想到，如今飞速发展的网络，最头疼的竟是安全问题！而事关安全的密码学竟要在数论中找法子，三十年河东三十年河西，谁又能说数学中的其他分支用不上？