july算法5——递归

1.递归定义

• 直接或间接调用自身
• 算法思想：
  1）原问题可分解子问题（必要条件）
  2）原与分解后的子问题相似（递归方程）
  3）分解次数有限（子问题有穷）
  4）最终问题可直接解决（递归边界）

2.递归奥义

• 递归 =递 +归
• 会想还要会写=>实践出真知
• 递归奥义——复制自己
  如何造纳米机器人

int robot(int x, int y)//机器人的输入
  if（边界条件）//什么时候不用造了（自己就能干完） 
    return 0; 
  int a = robot(x1, y1);//造一个小的自己帮忙干活 
  int b = robot(x2, y2);//再造一个小的自己帮忙干活 
  return a + b;//自己要做的就是把别人的成果组装起来

3.经典问题

3.1 斐波那切数列

• 递归方程
  F(n) = F(n – 1) + F(n – 2) //可分解，有穷性

• 递归边界
  F(0) = 1, F(1) = 1

• 经典例子
  兔子生兔子
  爬楼梯

• 直接递归
  时间复杂度预估

• 优化递归
  不做重复的事

• 递归转递推
  递归式，递推式？仅仅是方向不一样

• 为什么用递归
  方便而已！

• 如何更优？

• 直接使用公式

  
  

3.1.1 公式的问题

N次方如何算？

• 求aⁿ

• F(n)=aF(n–1), F(0)=1

• 时间复杂度 O(n)

• 换种写法
  F(n) = F(n/2)²*a   if n%2==1
    = F(n/2)²    if n%2==0

• 时间复杂度 O(logn)

• 斐波那切数列的本质

• 二阶齐次线性递推式

  
  

• 反复应用

  
  

• 矩阵运算具有结合律性质

• 适用幂运算的优化方法

• 时间复杂度： O(logn)

• 优化： O(指数级) -> O(n) -> O(logn)

• 本质：减少重复计算

3.1.2 作业

• 非齐次
  F(n) = F(n – 1) + F(n – 2) + a
• K阶
  F(n) = F(n – 1) + F(n – 2) + … + F(n – k)
• 终极作业
  F(n) = F(n – 1) + F(n – 2) + … + F(n – k) + a

3.2 汉诺塔问题

有三根柱子A,B,C。在A上，按照从小到大摞着N片圆盘。现要把圆盘按原顺序重新摆放在C上，并且规定，任何时刻，在小圆盘上不能放大圆盘，一次只能从一个柱子最顶部移一个圆盘到另一柱子顶部

• 最短移动次数，以及移动方案

• 试试N=1，N=2

• N=3？

• 找到F(N)和F(N-1)的关系
  =>已知F(N-1)，如何求出F(N)?

• 数学归纳法的程序版

• 方案输出
  从A柱子，利用B柱，到达C柱
  递归时候如何记录状态？
  F(N, A, B, C)

3.3 快速排序

• 期望时间复杂度O（NlogN）

• 思想：
  1.找任意一个元素作为中间值m
  2.比m小的放在数组前部，大的放后部
  3.前部后部分别排序（递归）

• 思想 ->实现

• 复杂度计算

3.4 二叉树遍历

• 三种不同的遍历顺序
  前序遍历：ABCDEGF（根左右）
  中序遍历：CBEGDFA（左根右）
  后序遍历：CGEFDBA（左右根）

  
  

• 为什么要区别各种序
  三种序 ->三视图

• 前序遍历：
  write(根); find(left); find(right)

• 中序遍历：
  find(left); write(根); find(right)

• 后序遍历：
  find(left); find(right); write(根);

4.作业

• 汉诺塔问题，输出步骤并验证
• 亲手写一个快速排序，并通过测试
• 实现二叉树遍历的三种方式

参考

• 1）面试求职 第四期