高斯公式证明
高斯公式：
若空间闭区域 Ω \Omega Ω 由光滑的闭曲面 Σ \Sigma Σ 围成，则
∫ ∫ ∫ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v = ∮ ∮ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y \int \int \int _{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z})dv = \oint \oint _{\Sigma} P dy dz + Q dzdx + R dxdy ∫∫∫Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv=∮∮ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy
证明：
空间光滑的闭区域一定可以被分割，设 x 1 ( y , z ) 和 x 2 ( y , z ) 是 Ω x_1(y,z)和x_2(y,z)是\Omega x1(y,z)和x2(y,z)是Ω的左右边界，根据三重积分可得：
∫ ∫ ∫ Ω ∂ P ∂ x d v = ∫ ∫ D y z ∫ x 1 ( y , z ) x 2 ( y , z ) ∂ P ( x , y , z ) ∂ x d x d y d z = ∫ ∫ D y z P ( x 2 ( y , z ) , y , z ) d y d z − ∫ ∫ D y z P ( x 1 ( y , z ) , y , z ) d y d z \int \int \int _{\Omega} \frac{\partial P}{\partial x} dv = \int \int _{D_{yz}} \int _{x_1(y,z)}^{x_2(y,z)}\frac{\partial P(x,y,z)}{\partial x}dx dy dz = \\ \int \int _{D_{yz}} P(x_{2}(y,z),y,z)dydz - \int \int _{D_{yz}} P(x_{1}(y,z),y,z)dydz ∫∫∫Ω∂x∂Pdv=∫∫Dyz∫x1(y,z)x2(y,z)∂x∂P(x,y,z)dxdydz=∫∫DyzP(x2(y,z),y,z)dydz−∫∫DyzP(x1(y,z),y,z)dydz
同理，根据闭区域曲面积分，闭区域可以被分为左右两部分(设左边部分为 Σ 1 \Sigma_1 Σ1右边部分为 Σ 2 \Sigma_2 Σ2)分别计算曲面积分：
∮ Σ ∮ P d y d z = ∮ Σ 2 ∮ P d y d z − ∮ Σ 1 ∮ P d y d z = ∫ ∫ D y z P ( x 2 ( y , z ) , y , z ) d y d z − ∫ ∫ D y z P ( x 1 ( y , z ) , y , z ) d y d z \color{red} \oint _{\Sigma}\oint P dy dz = \oint _{\Sigma_{2} }\oint P dy dz - \oint _{\Sigma_{1} }\oint P dy dz = \\ \int \int _{D_{yz}} P(x_{2}(y,z),y,z)dydz - \int \int _{D_{yz}} P(x_{1}(y,z),y,z)dydz ∮Σ∮Pdydz=∮Σ2∮Pdydz−∮Σ1∮Pdydz=∫∫DyzP(x2(y,z),y,z)dydz−∫∫DyzP(x1(y,z),y,z)dydz
高斯公式得证。