Python 算法训练——最大最小公倍数

报名了蓝桥杯，最近在练题。第一次在CSDN上发文就记录一下解题思路叭~

如有错误，欢迎大佬指正~

---

题目如下：

资源限制

时间限制：1.0s   内存限制：256.0MB

问题描述

已知一个正整数N，问从1~N中任选出三个数，他们的最小公倍数最大可以为多少。

输入格式

输入一个正整数N。

输出格式

输出一个整数，表示你找到的最小公倍数。

样例输入

9

样例输出

504

数据规模与约定

1 <= N <= 106。

代码如下：

# 最大最小公倍数
n=int(input())
if n<=2:
    print(n)
elif n%2!=0:
    print(n*(n-1)*(n-2))
else:
    if n%3!=0:
        print(n*(n-1)*(n-3))
    else:
        print((n-1)*(n-2)*(n-3))

 解题思路：

1. 求最大的最小公倍数，那么应该尽可能取1~N中最大且互质的数。如果不互质的话，比如8 9 10，8和10有公因子2，那么最小公倍数肯定会缩小二倍啦~

2. 如果N为奇数，例如：5 6 7。

数学原理一：相邻的两个数一定互质，所以N与N-1、N-1与N-2一定互质；

数学原理二：相邻的奇数一定互质，所以N和N-2一定互质。

由此，这三个数两两互质。所以最大的最小公倍数为N*(N-1)*(N-2)。

3. 如果N为偶数，则N与N-2同为偶数，有相同的公因子2，那么一定要改变N或者N-2。如果直接除以2，当N很大的时候，N与N/2相差太多，会大幅减小所求的最小公倍数。所以应该使用减法，求与N临近的数达到两两互质的效果。

所以我们接下来的目的就是改变N、N-1、N-2中的N或N-2。

因为N更大，所以优先保留N。假如N-2变为N-3，那么三个数为N、N-1、N-3，其中N（偶数）与N-1（奇数）、N-1（奇数）与N-3（奇数）一定互质，但是N与N-3可能存在公因子3。如果N不是3的倍数，那么N与N-3一定互质。

因此，当N为偶数的时候，会出现两种情况：

（1）如果N不是3的倍数，那么选取N、N-1、N-3，最大的最小公倍数为N*(N-1)*(N-3)。

（2）如果N是3的倍数

Ⅰ 仍减小N-2的话：

举个栗子：10 11 12，10变为9，8都不行，最大也是7，即N-5，最小公倍数为N*(N-1)*(N-5)；

Ⅱ 如果减小N：

那么可以是N-1、N-2、N-3，其中N-1为奇数，一定两两互质，最小公倍数为(N-1)*(N-2)*(N-3)。

比较一下这两个数的大小：

         N*(N-1)*(N-5)=(N-1)*(N*N-5*N)

         (N-1)*(N-2)*(N-3)=(N-1)*(N*N-5*N+6)

所以，最大的最小公倍数为(N-1)*(N-2)*(N-3)。

（补充：关于N是偶数，但3不是因子时，N和N-3为什么互质？？？

首先N和N-3奇偶性不同，所以2一定不是公因子；如果N不是3的倍数，那么减3后仍旧不是，所以3一定不是公因子；如果都有公因子4，那么这两个数应该相差4的倍数，但这两者只相差了3；同理，4以上的都不会是共同的公因子。所以，这两个数互质。）