物理学中的不确定性

吴骏（香港中文大学通识教育基础课程讲师）

【物理研究的只是模型，而不是真理】

物理学中的确定性问题缘起于我正在教授的《与自然对话》^[1] 这门课。其中节选了詹姆士·华生 (James Watson) 在2003年写的一本畅销书《DNA：生命的秘密》。书中的第二章回顾了1953年他参与发现DNA双螺旋结构的过程^[2]，在第二章的最后，他说道：“生命不过是物理与化学的事，尽管是极其精巧的物理与化学。(Life was just a matter of physics and chemistry, albeit exquisitely organized physics and chemistry.)”

（图片来源：wikipedia）

这句话向来引人争议。就算是在老师们之间，也常常意见各异：有人支持，有人反对。讨论下来，其中一个落足点往往会归结到物理化学的确定性上面，也让我萌发了写这篇文章的念头。

自牛顿力学开始现代科学的滥觞，仅仅凭借着手中一枝笔、一张纸，转念间便可以洞察行星运行的奥秘，甚至预测其轨道及周期[3]。科学的发展让世界的图景宛如一张精密的机械设计图，在我们面前徐徐展开。此间，物理学往往以其精准确定的解释与预测收获了不少拥趸；然而，随着了解的深入，科学的刺针探入物理世界的复杂性里，让我们反省物理世界深藏的不确定性。

我们可以从两个层面来理解这种不确定性。

其中一部分源自现象的复杂。一个最简单的例子就是统计物理中的朗之万方程( Langevin Equation )：

这个方程描述了布朗运动[4]的动态过程。布朗运动最早由爱因斯坦给出其统计意义[5]，描述小颗粒在液体中受到液体分子随机碰撞而产生的运动。事实上，朗之万方程的物理意义非常简单，就是牛顿第二定律的直接运用：方程的左边是质量与加速度的乘积，其中 v 是小颗粒的速度，m 是其质量；方程的右边也就是受力情况，其中, γ 是粘滞系数，代表液体的性质，而 η(t) 就是代表液体粒子碰撞产生的随机力。之所以单独命名这个牛顿第二定律的方程，是因为在它的受力分析中出现了随机项 η(t)，正是它，体现了整个运动的不确定性。

那么，什么是随机项呢？它又为什么会出现在这里？

随机项的出现，暴露了真实世界的不确定性。让我们想象这个飘零在液体中的可怜小微粒，它被近乎无穷的液体分子包围着，忍受着来自它们的撞击。这些液体分子太多了，太小了，我们无法去跟踪每一粒分子的轨迹，只能用“随机行为”来描述这无法分辨与预测的冲击，这就是随机力产生的原因。简而言之，所谓随机，只是因为现象复杂到无法预测，所以不能给出确定的描述。正是因为这样，我们无法对小颗粒的运动行为精确预测，仅仅能给出一个统计上的概率分布。然而，这种随机还是易于处理的。毕竟，我们并不关心小颗粒受到的每一次撞击，只需要知道它在我们观测的宏观时空中的平均效应。观察成千上万的小颗粒的运动并非难事（例如：墨水的扩散现象），在我们关注的现象层面，这种随机性很容易就被平均掉了。我们仍然会惊叹于物理学对于这个世界的精确掌控。

可是，这种随机性并不总能被平均掉。科学的成功助长了我们的线性思维，让我们常常忘记，这个世界本质上是非线性的。然而，世界又是狡诈的，它把非线性藏在无数细节里，冷不丁地跳出来嘲讽我们一下。在非线性效应地摇旗吶威之下，任何一点小小的随机性，都可能放大成为声势浩大的现象级后果。这，就是出名的“蝴蝶效应^[6]”。对于地震预测的无可奈何，气象变换的难以琢磨；甚至对于生命运作的绞尽脑汁，乃至对于大脑意识的莫衷一是，无不标记了我们在世界复杂性面前的挫败感。

如果说物理学的不确定性仅仅来源于世界本身的复杂性，倒无损于科学家的信心。谁不知道世界是复杂的？科学的意义不就是洞穿错综复杂的现象，看到其本质吗？复杂与非线性不过是在一定程度上损害了科学的精确预测能力罢了，而世界仍臣服于确定的物理规律之下。

吊诡的是，物理学似乎无意接受我们为之安放的确定性命运。量子力学再次颠覆我们的认知，从最基础的理论层面，再一次昭示了其隐藏的不确定性。

让我们还是从最熟悉的牛顿第二定律说起吧。 F =ma，这是牛顿为我们描述的机械图景，将运动现象纳入其间。对于受力分析已知的物体而言，只要知道它任何一个时刻的位置与速度，我们就可了解它的过去并预测它的未来。初始条件^[7]，仅仅是一个时刻的位置与速度，在确定的物理规律下，便可透露物体运动的全部讯息。这不正是物理学规律确定性的绝佳范本？正是牛顿，通过这一套运动定律的建立，奠定了现代科学分析世界的信心。只可惜，海森堡 ( Werner Heisenberg ) 的不确定性原理 ( Uncertainty Principle ) 当其面门奋力一击，这个经典巨人便倒地不起。根据不确定性原理：

位置和动量，也即是速度^[8]，存在着一种根深蒂固的不确定性，无法突破普朗克常数  ħ  的局限。也就是说，我们无法同时确定位置和速度，从根本上，也就无法确定一个物体（通常是量子级别）的初始条件。那么这个物体的历史和未来自然就逃脱了我们的掌握，即便它仍受制于确定的物理学规律。物理学的不确定性站在最基本的理论层面讥笑我们的自以为是。物理学家当然会予以反击。以玻尔 ( Niels Bohr )、海森堡为代表的哥本哈根学派把一切秘密吸收进了波函数，赋予了量子力学一套统计意义，这便是著名的“哥本哈根诠释”。科学家了解统计力学，“哥本哈根诠释”也安顿了物理学家对于世界确定性的信心；然而，波函数终究是物理学中的一个幽灵，我们自以为了解统计学，却往往忽略了正是波函数，把这种不确定性安放进了一个单独的粒子中。

或许我们可以从薛定谔方程 ( Schrödinger Equation ) 一窥究竟：

这个方程看上去很复杂，但物理意思很简单：就是总能量等于动能与势能之和 E = mv² / 2 + V 的算符写法而已。这里的 E 指粒子的总能量，而 V 则代表其势能。这也是牛顿第二定律的另一种变换形式。就这个意义而言，薛定谔方程描述的是一个确定的物理过程。但问题的关键不在方程，而在方程掌控的对象，也就是波函数。它告诉我们，粒子在给定时间 t 可以位于空间的任何一点 x，波函数 Φ(x,t) 本身正对应了粒子在此状态下的概率幅，而它的绝对值平方|Φ(x,t)|2就是粒子 t 时刻位于 x 的概率。有趣的是，和经典物理很不同，在大多数物理学家眼里，波函数只是一个抽象的数学工具，并不对应任何实在的可观测量。然而，由于包含了粒子运动的所有统计可能性，当观测发生时，波函数所代表的概率波会坍缩到其中一个可能的状态，从而给出一个物理意义清晰的观测结果^[9]。这样的一套统计解释可以精确说明很多的量子力学实验（例如：著名的双缝实验^[10]），物理学家似乎再一次把预测世界的话语权夺了回来。

可惜，并非所有的物理学家都买账，薛定谔透过他那只有名的“薛定谔猫”捅破了那层薄薄的玻璃纸，暴露出这一套诠释的可疑之处。在这个思想实验中，倒霉的“薛定谔猫”被关进了一个由原子衰变控制开关的封闭毒气室，它的命运便由放射性元素的衰变与否决定：如果衰变发生，则毒气释放，猫毙命；反之，则猫存活。由于衰变本身是典型的量子行为，根据哥本哈根诠释，放射性原子的波函数是所有可能状态的线性叠加，当时间等于放射性元素的半衰期时，放射元素有一半的机会发生衰变，相应地，与之命运相连的“薛定谔猫”的状态也就变成了：

其中 │live 〉表示猫存活的状态，│dead 〉则是猫毙命的状态。除非打开毒气室查看猫的生死，也即是观测发生，否则这只猫就永远处于一种不生不死，半生半死的荒谬状态。我们无法理解一只同时存在于生死边缘的猫，这严重违反了人们的一般直觉，也暴露出哥本哈根诠释面对量子世界时的无力与不确定。

图片来源：https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ASchrodingers_cat.svg

无疑，薛定谔的思想实验放大了这种无力，然而，正是在这稍带夸张的场景中，我们更容易把握埋藏在微观量子世界中的不确定性。正如之前所说，尽管薛定谔方程本身代表的是一个确定的物理过程，这个确定的物理过程描述的却不是一个粒子的运动过程，而是这个粒子运动的统计可能性。这才是真正吊诡的地方。如果说，统计物理的不确定性是源于参与者的众多以及过程的复杂，量子力学告诉你的是，这种不确定性不仅仅存在于复杂系统中，甚至存在于一个单独粒子的描述里。物理学家用他们的天才把它藏在了统计方法的背后，让我们用技术上的成功去忘记其本质上的不确定性。

或许，对于这种不确定性的坦诚面对更好地反映在了费曼 ( Richard Feynman )的路径积分上。他不再用神秘莫测的波函数来吸收一切秘密，而是坦然标记了粒子可能走过的每一条路径，并赋予每条路径相应的统计意义。通过路径积分这样一个直接明确的统计手法，求和所有路径来给出单个粒子行为的描述。这，可能是物理学家面对量子世界时所能做出的最诚实的解说。

路径积分示意图：A, B是粒子运动的起点与终点，费曼的路径积分认为，粒子的行为由所有从A到B的可能路径通过统计平均共同决定。图片来自张天蓉在科学网介绍费曼积分的文章 http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-796611.html

诚实固然难得，但诚实却无助于消解物理学家的挫败感；经典物理所带来的那种对于客观实在的掌控与把握，那种分析世界、洞察自然的优越感毕竟无可挽回地流逝了。在很多人眼里，科学的发展是人类了解自然，甚至控制自然的过程。或者，他们忘了，这更是一个人类了解自己的过程。物理学作为现代科学的坐标性学科，它所暴露的不确定性也许不应该被看成是自然的狡诈，而是它的善意。让我们可以重新意识到自然的复杂、人类的局限，让我们可以保有对自然的敬畏，也包括对生命本身的敬畏。毫无疑问，生命当然是物理化学的事，是无可辩驳的精巧的物理和化学，但生命的内涵与外延又远不止如此……

注释

[1] 《与自然对话》是香港中文大学的一门通识课，面向所有本科生。通过经典阅读与讨论引发学生对科学相关议题的兴趣与探索。

[2] 因为DNA双螺旋结构的发现，华生与他的合作者克里克(Francis Crick)及威尔金斯(Maurice Wilkins)获得了1962年的诺贝尔医学奖。《DNA：生命的秘密》是为了纪念双螺旋结构发现50周年而出版的。

[3] 其中最著名的一个例子是哈雷 (Edmond Halley)利用牛顿力学计算了哈雷彗星的周期并预测其1758年的回归。

[4] 布朗运动最早由苏格兰植物学家罗伯特·布朗 (Robert Brown) 最早观察到，他发现悬浮于液体中的花粉颗粒会随机运动。

[5] 这是爱因斯坦1905年发表的4篇革命性文章中的一篇，英文名为“On the movement of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular theory of heat,”Ann. Phys. 17 (1905).

[6] 蝴蝶效应是一个生动的暗喻，用以表示系统对于初始条件的极度依赖：一只蝴蝶几星期前的一次煽动翅膀就可能引起远方一场飓风的降临。很多非线性系统都会表现出这种对于初始条件的极度敏感，初始条件发生一丁点的改变就可以造成系统完全不同的演化方向。

[7] 因为加速度是位置对于时间的二次微分，为了求解这个微分方程，给出物体的运动曲线（其位置随时间的变化而变化），必须知道其某一个时刻的位置与速度，始知为初始条件。

[8] 动量等于质量与速度的乘积。

[9] 这只是哥本哈根学派其中一种较广为接受的说法。事实上，即使是哥本哈根学派内部，不同的物理学家仍然有不同的看法，就不在此赘述。

[10] 双缝实验对量子力学至关重要。经典物理中的双缝实验又常被成为杨氏双缝实验，让相干光束通过两个狭缝，在后面的接收屏上会显示出干涉图样。这是反映光波动性的决定性实验；后来在量子力学中，对不同的微观物体，如电子等，进行了类似的实验，也得到了相应的干涉图样。哥本哈根学派可以很好地解释这些实验结果。

参考文献

[1]  Watson James and Berry Andrew, DNA: The Secret of Life, DNA Show LLC, 2003.

[2]  Cohen Bernard, The Birth of a New Physics: Revised and Updated, W. W. Norton & Company, Inc, 1985 by Cohen Bernard, 1960 by Educational Services Incorporated.