第一章：插值方法

写在前面
插值问题讲的是啥呢？实际上就是求原函数，但是我们这里只有几个离散点的值，本章主要研究的就是不同的方法求出不同的插值多项式。

1.1 拉格朗日插值多项式

线性插值：线性插值是最简单的插值函数，就是两点决定一条直线，用两点式表示了而已。

那我们换一种表示方法，把两点式中的两个式子给他换个名字：

这个l₀和l₁就是传说中的线性插值基函数

接下来讲一个贯穿整个插值函数的例题：

现在看这道题可能有点简单，到了后面再做的时候就明白这道题的霸道啦~

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抛物插值：抛物插值就是线性插值的进阶版，给出三个点，求出来的插值多项式就是所谓的抛物插值。
从线性插值中推理过来：

这里面的l₀，l₁，l₂ 展开后，就是介个样子：

那我们再把这个例题掏出来：

很明显，这个结果比线性插值精度高一些~

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一般的：
对于我们的lᵢ:

那一般的插值基函数就是这样的：

可以看到，分母上减数没有lᵢ，被减数是lᵢ，这是个用来记忆的规律~

所以根据基函数，可以得到n阶插值多项式的表达方式如下：

为了表示方便，引入w来做一个标记，w实际上就是分母：

那么插值多项式就可以表示为：

实际上吧，我觉得这里没有太大必要这样表示，但是为了后续的理解，姑且先记一下叭~绕了个小弯。

1.2 拉格朗日插值多项式余项

啥是余项?
通俗来讲，余项就是误差，所以插值多项式的余项可以表示成：

其中f(x)是精确解，Lₙ(x)是所求的多项式。

再进一步写：

快看这里的w眼熟不！就是上面那个展开奇奇怪怪的东西~

具体的证明不需要记，但是要记住，余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能用。
通常，我们求函数的n+1阶导数max|fⁿ⁺¹(x)| = Mₙ₊₁，从而将误差放缩：

所以，我们直接拿来结果！

• n=1时，即线性插值余项：
  
• n=2时，即抛物插值余项：
  

那我们再把上面那道例题掏出来，这里的运算比较复杂， 考试估计不会这样，但求误差估计的方法很典型，看明白就好

这里方法有一个局限性，就是必须要知道导函数的上界，属于事前误差估计，那如果上界不知道呢？

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事后误差估计方法

事后误差估计是个怎么回事儿呢？通俗来讲，就是多算一位，分别把Lₙ和Lₙ₊₁的式子算出来，近似相等，可以得到结果和误差：

1.2 差商

定义： 一阶差商就是，函数值之差比上自变量之差：

二阶差商就是一阶差商的差商：

那么一般地，K阶差商：

性质

• K阶差商可以表示为f(x0)···f(xk)的线性组合
• 差商与节点的排列次序无关，具有对称性

计算：使用差商表最方便

另外还有一个题型无法使用差商表：

这时候要想起来一个和计算有关的性质：

则有：

一般这样的题型求导之后，导数值都是一个常数，可以直接计算出结果。

1.3 牛顿插值多项式

实际上牛顿和拉格朗日插值是等价的，拉格朗日插值有高度的对称性；牛顿插值多项式来自于差商，其意义在于具有承袭性，即增加一项可以从上一项推出来。

定义式：

递推式：

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Newton插值余项

这个东西顺便证明了差商的第三条性质。

又双叒叕掏出来上面那道例题：

在使用Newton插值多项式的时候，先根据变量值和函数值计算出差商表，再结合公式带入即可：

1.4 分段插值

龙格现象：所谓龙格现象，就是当插值多项式的次数随着节点个数增加时，有可能产生激烈的震荡从而不符合原函数。
分段插值：分段插值就是将被插值函数分成一小段一小段，在每个小段里面逼近，从而达到比较好的效果。

1.4.1 分端Lagrange插值

分段线性插值：将一个区间化为n个小区间，记h是所有区间长度的最大值，则Ih在[a,b]上连续、存在且在每一段上都是线性多项式，即为分段线性差值函数。

实际上就是在每个小区间上的折线，可以用拉格朗日插值多项式表示：

重点要记一下余项的算法：

分段线性插值：

分段二次插值：

1.4.2 分段Hermit插值

为了克服拉格朗日插值中，分段点处不可导的问题

这边的证明太太太长了，我们记几个关键的公式即可：

三次Hermit插值公式：

其中的四个式子就是三次Hermit插值基函数

还是用一道例题熟悉吧

方法一：基函数法

方法二：待定系数法

我觉得待定系数好理解一点emm

1.5 样条函数

样条函数的特点是。充分光滑，即导数连续；又有一定的间断性，即分段的特性。

三次样条插值

计算三次样条函数时，需要的边界条件：

• 端点处的一阶导数：
• 端点处的二阶导数：
  当二阶导数的两端点值都为0时，称为自然边界条件，样条函数称为自然样条函数
• 若f(x)是周期函数，且xn-x0是一个周期，则要求S(x)也是周期函数：

整个例题理解一下：

这种题的解法围绕定义下手，S(x)需满足在作用域内二阶连续可导，且一阶和二阶导函数连续，带入即可。

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接下来讲讲三次样条插值函数的计算方法

三转角方法（题目中给的是端点一阶导数）：
具体的公式推导实在太麻烦，直接上干货，先记几个公式：

这是由分段Hermit推来的式子，放在这帮助理解

其中h是划分每一段的长度，为简便计算，引入三个已知量：

这里的mi是样条函数的一阶导数，结合上面三个式子，就能得到mi

还是整个例题看看吧：

这里把区间分成三份，首先计算λ、μ、g，由公式代入可得：

这里不要被那个矩阵唬住了，想不明白为什么就带入上面公式的最后一个求mi，通过λ、μ、g解二元一次方程组。

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三弯矩方法（题目中给了端点的二阶导数）
记Mi为S的二阶导数，则有：

再次引入λi、μi、di：

从而求解Mi：

再来个类似的例题：

同样分为三份区间，带入公式：

1.6 数据拟合的最小二乘法

这里就不过多证明，直接上例题寻找考点吧

解法过程如下：

• 先描点画一个大概的草图，判断函数的次数，本题可以看出是一次
• 用幂函数拟合曲线，即用g(x) = 1+x+x²+x³+····作为拟合多项式
• 结合给出的离散数据写出向量，然后两两做内积
  
  其中系数分别为φ0和φ0内积=8，φ0和φ1内积=4、φ1和φ1内积44，φ0和f内积=3.9，φ1和f内积=46

再来一个题型：

这个题型的主要方法就是，把解方程组，转化为求G(x,y)的最小值，即每一项都为零的时候成立，进一步转化成求偏导：

最终求得的是近似解而非精确解。

习题

1.插值多项式的次数与插值节点的个数有关系。正确
2.若n+1个插值节点互不相同，则满足插值条件且不大于n次的插值多项式唯一存在。
3.拉格朗日插值基函数满足插值条件，lk(xi)= a,(i=k); lk(xi)= b,(i≠k)。则a=1，b=0。
4.用拉格朗日插值法求插值多项式就是对应节点xk的基函数lk(x)与相应节点函数值yk乘积之和。正确
5.插值多项式余项中的ζ与x无关。错误

1.Newton插值法的插值基函数既有与节点相关又有升幂的特点，从而改进了拉格朗日插值不具有继承性的不足。正确
2.差商f[x0,x1,x2] = f[x1,x0,x2] = f[x1,x2,x0]。正确
3.插值节点从x0到xn，对节点重新排列之后，对应的Newton插值是否相等？相等
4.n+1个节点的拉格朗日插值多项式与牛顿插值多项式只是表现形式不同，实质上是等价的。正确
5.Newton插值多项式中，每增加一个插值节点，所有的差商值都需要重新计算。错误

1.Runge现象产生的原因是插值节点不多。错误
2.插值多项式的余项随着节点的增多而在某些点可能产生激烈的震荡
3.分段线性插值克服了高次插值多项式误差可能产生震荡的不足，但分段线性插值函数在整个插值区间上只能保证连续，但不连续可导。
4.三次样条插值函数S(x)是分段函数。
5.三次样条插值要求插值函数在整个插值区间上都是三阶连续可导。错误
6.已知相同的离散数据，插值和逼近(拟合)可获得相同的函数表达式。错误
7.用最小二乘法进行数据拟合时，获得的正则线性方程组的系数矩阵是对称矩阵。正确

书后题：

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后记
这一章太难了，太难了，加油兄弟们