Laplace方法
Laplace方法(拉普拉斯方法)
前言：
Laplace方法，又称Laplace定理，整体思想就是抓极值部分和局部化原理。适用于 ∫ a b f n ( x ) g ( x ) d x \int_a^b f^n(x)g(x)dx ∫abfn(x)g(x)dx型积分的渐近估计，要记得可以通过变形和换元法转化为标准模型。
定义：
L a p l a c e 方法是对实函数的形如 Laplace方法是对实函数的形如 Laplace方法是对实函数的形如 F ( λ ) = ∫ a b φ ( t ) e λ f ( t ) d t F(\lambda)=\int_a^b \varphi(t)e^{\lambda f(t)}dt F(λ)=∫abφ(t)eλf(t)dt的积分在参数 λ \lambda λ较大的时候的渐近估值或者说是当 λ → + ∞ \lambda \rightarrow +\infty λ→+∞时的渐近展开。
其主要思想时，如果 f f f在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]中某个点 t 0 t_0 t0达到绝对最大，则对于较大或者极速增长的 λ \lambda λ而言， e λ f ( t ) e^{\lambda f(t)} eλf(t)在 t 0 t_0 t0的取值会远大于其他点的取值，从而 t 0 t_0 t0的领域对于整个积分占据绝大部分贡献，其余积分的积分几乎是非实质的。
例如：
有渐近估计：
( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! = π n + π 8 ⋅ 1 n + ∘ ( 1 n ) \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} = \sqrt{\pi n} + \frac{\sqrt\pi}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}+ \circ(\frac{1}{\sqrt{n}}) (2n−1)!!(2n)!!=πn+8π⋅n1+∘(n1)
这里的意思是说
lim n → ∞ n [ ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! − π n ] = n 8 \lim_{n \to \infty}\sqrt{n}\left[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}-\sqrt{\pi n}\right]=\frac{\sqrt{n}}{8} n→∞limn[(2n−1)!!(2n)!!−πn]=8n
证明：想法就是把表达式用积分表示并运用Laplace方法
Step 借助公式高数课本积分表经典公式 ∫ 0 π 2 s i n 2 n x d x = π 2 ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! （ 1 ） \int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^{2n}xdx =\frac{\pi}{2}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} （1） ∫02πsin2nxdx=2π(2n)!!(2n−1)!!（1）和Taylor公式的Peano余项 l n s i n 2 x = − ( x − π 2 ) 2 + ∘ [ ( x − π 2 ) 2 ] （ 2 ） lnsin^2x=-(x-\frac{\pi}{2})^2+\circ[(x-\frac{\pi}{2})^2] （2） lnsin2x=−(x−2π)2+∘[(x−2π)2]（2）
我们可以从等式右边做文章。
一方面：由（2）得 − ( 1 + ε ) ( x − π 2 ) 2 ≤ l n s i n 2 x ≤ − ( 1 − ε ) ( x − π 2 ) 2 -(1+\varepsilon)(x-\frac{\pi}{2})^2 \leq lnsin^2x \leq -(1-\varepsilon)(x-\frac{\pi}{2})^2 −(1+ε)(x−2π)2≤lnsin2x≤−(1−ε)(x−2π)2
∫ 0 π 2 s i n 2 n x d x = ∫ 0 π 2 e n l n s i n 2 x d x ≤ ∫ 0 π 2 − δ e n l n s i n 2 ( π 2 − δ ) d x + ∫ π 2 − δ π 2 e − n ( 1 − ε ) ( x − π 2 ) 2 d x = ( π 2 − δ ) s i n 2 n ( π 2 − δ ) + ∫ 0 δ e − n ( 1 − ε ) y 2 d y = ( π 2 − δ ) s i n 2 n ( π 2 − δ ) + 1 ( 1 − ε ) n ∫ 0 δ ( 1 − ε ) n e − z 2 d z ≤ ( π 2 − δ ) s i n 2 n ( π 2 − δ ) + 1 ( 1 − ε ) n ∫ 0 ∞ e − z 2 d z . \begin{align} \int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^{2n}xdx &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{nlnsin^2x}dx\\ &\leq \int_0^{\frac{\pi}{2}-\delta}e^{nlnsin^2(\frac{\pi}{2}-\delta)}dx + \int_{\frac{\pi}{2}-\delta}^{\frac{\pi}{2}}e^{-n(1-\varepsilon)(x-\frac{\pi}{2})^2}dx\\ &=(\frac{\pi}{2}-\delta)sin^{2n}(\frac{\pi}{2}-\delta)+\int_0^{\delta}e^{-n(1-\varepsilon)y^2}dy\\ &=(\frac{\pi}{2}-\delta)sin^{2n}(\frac{\pi}{2}-\delta)+\frac{1}{\sqrt{(1-\varepsilon)n}}\int_0^{\delta\sqrt{(1-\varepsilon)n}}e^{-z^2}dz\\ &\leq(\frac{\pi}{2}-\delta)sin^{2n}(\frac{\pi}{2}-\delta) +\frac{1}{\sqrt{(1-\varepsilon)n}}\int_0^{\infty}e^{-z^2}dz. \end{align} ∫02πsin2nxdx=∫02πenlnsin2xdx≤∫02π−δenlnsin2(2π−δ)dx+∫2π−δ2πe−n(1−ε)(x−2π)2dx=(2π−δ)sin2n(2π−δ)+∫0δe−n(1−ε)y2dy=(2π−δ)sin2n(2π−δ)+(1−ε)n1∫0δ(1−ε)ne−z2dz≤(2π−δ)sin2n(2π−δ)+(1−ε)n1∫0∞e−z2dz.
另一方面：（2）得 l n s i n 2 x ≥ − ( 1 + ε ) ( x − π 2 ) 2 lnsin^2x \geq -(1+\varepsilon)(x-\frac{\pi}{2})^2 lnsin2x≥−(1+ε)(x−2π)2
∫ 0 π 2 s i n 2 n x d x ≥ ∫ π 2 − δ π 2 e − n ( 1 + ε ) ( x − π 2 ) 2 d x = ∫ 0 δ e − n ( 1 + ε ) y 2 d y = 1 ( 1 + ε ) n ∫ 0 δ ( 1 + ε ) n e − z 2 d z \begin{align} \int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^{2n}xdx &\geq \int_{\frac{\pi}{2}-\delta}^{\frac{\pi}{2}}e^{-n(1+\varepsilon)(x-\frac{\pi}{2})^2}dx\\ &=\int_0^{\delta}e^{-n(1+\varepsilon)y^2}dy\\ &=\frac{1}{\sqrt{(1+\varepsilon)n}}\int_0^{\delta\sqrt{(1+\varepsilon)n}}e^{-z^2}dz \end{align} ∫02πsin2nxdx≥∫2π−δ2πe−n(1+ε)(x−2π)2dx=∫0δe−n(1+ε)y2dy=(1+ε)n1∫0δ(1+ε)ne−z2dz
由此我们有了：
1 1 + ε ∫ 0 ∞ e − z 2 d z ≤ lim n → ∞ n ∫ 0 π 2 s i n 2 n x d x ≤ 1 1 − ε ∫ 0 ∞ e − z 2 d z . \frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon}}\int_0^{\infty}e^{-z^2}dz \leq \lim_{n \to \infty}\sqrt{n}\int_0^\frac{\pi}{2}sin^{2n}xdx \leq \frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon}}\int_0^{\infty}e^{-z^2}dz. 1+ε1∫0∞e−z2dz≤n→∞limn∫02πsin2nxdx≤1−ε1∫0∞e−z2dz.
由 ε \varepsilon ε的任意性即可得：
lim n → ∞ n ∫ 0 π 2 s i n 2 n x d x = ∫ 0 ∞ e − z 2 d z = π 2 . \lim_{n \to \infty}\sqrt{n}\int_0^\frac{\pi}{2}sin^{2n}xdx =\int_0^{\infty}e^{-z^2}dz=\frac{\pi}{2}. n→∞limn∫02πsin2nxdx=∫0∞e−z2dz=2π.
根据这个例子，我们不难发现： \textcolor{orange}{根据这个例子，我们不难发现：} 根据这个例子，我们不难发现：
Laplace方法书写是有一定繁琐度的，需要花时间理解，以后一句话证明即可。
从解题的角度来说：
一些经典例题：
Question-1:
设 a 1 , a 2 , . . . , a m > 0 , m ∈ N a_1,a_2,...,a_m > 0 ,m \in \mathbb{N} a1,a2,...,am>0,m∈N，则
lim n → ∞ a 1 n + a 2 n + … … + a m n n = m a x 1 ≤ j ≤ m a j . \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^{n}+a_2^{n}+……+a_m^{n}} = \underset{1 \leq j \leq m }{max}a_j. n→∞limna1n+a2n+……+amn=1≤j≤mmaxaj.
很明显这是证极限蕴含在 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1,a_2,...,a_n a1,a2,...,an的最大值中
m a x 1 ≤ j ≤ m a j = lim n → ∞ m a x 1 ≤ j ≤ m a j n n ≤ lim n → ∞ a 1 n + a 2 n + … … + a m n n ≤ m a x 1 ≤ j ≤ m a j ⋅ lim x → ∞ m n = m a x 1 ≤ j ≤ m a j \underset{1 \leq j \leq m }{max}a_j = \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\underset{1 \leq j \leq m }{max}a_j^n} \leq \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^{n}+a_2^{n}+……+a_m^{n}} \leq \underset{1 \leq j \leq m }{max}a_j \cdot \lim_{x \to \infty}\sqrt[n]{m} = \underset{1 \leq j \leq m }{max}a_j 1≤j≤mmaxaj=n→∞limn1≤j≤mmaxajn≤n→∞limna1n+a2n+……+amn≤1≤j≤mmaxaj⋅x→∞limnm=1≤j≤mmaxaj
Question-2:
设非负函数 f ∈ C [ a , b ] f \in \mathbb{C}[a,b] f∈C[a,b]，则
lim n → ∞ ∫ a b f n ( x ) d x n = f ( x ) x ∈ [ a , b ] . \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\int_a^bf^n(x)dx} = \underset{x \in [a,b]}{f(x)}. n→∞limn∫abfn(x)dx=x∈[a,b]f(x).
这里需要用到中值定理：
证明 : \textcolor{orange}{证明:} 证明:事实上，记 f ( x 0 ) = m a x x ∈ [ a , b ] f ( x ) , x 0 ∈ [ a , b ] f(x_0)=\underset{x \in [a,b]}{max}f(x),x_0 \in [a,b] f(x0)=x∈[a,b]maxf(x),x0∈[a,b]，不失一般性我们假设 x 0 ∈ ( a , b ) x_0 \in (a,b) x0∈(a,b).那么对充分打的 x ∈ N x\in \mathbb{N} x∈N，我们由积分中值定理知道存在 θ n ∈ ( x 0 − 1 2 n , x 0 + 1 2 n ) \theta_n \in (x_0-\frac{1}{2n},x_0+\frac{1}{2n}) θn∈(x0−2n1,x0+2n1)，使得。
f ( θ 0 ) 1 n n ≤ ∫ x 0 − 1 2 n x 0 + 1 2 n f n ( x ) d x n ≤ ∫ a b f n ( x ) d x n ≤ ∫ a b f n ( x 0 ) d x n = f ( x 0 ) b − a n f(\theta_0)\sqrt[n]{\frac{1}{n}} \leq \sqrt[n]{\int_{x_0-\frac{1}{2n}}^{x_0+\frac{1}{2n}}f^n(x)dx} \leq \sqrt[n]{\int_a^bf^n(x)dx} \leq \sqrt[n]{\int_a^bf^n(x_0)dx} = f(x_0)\sqrt[n]{b-a} f(θ0)nn1≤n∫x0−2n1x0+2n1fn(x)dx≤n∫abfn(x)dx≤n∫abfn(x0)dx=f(x0)nb−a
总结：
Lpalace方法是根据清疏数学的内容书写的，后面也会添加进更多更经典的例题和手写笔记，希望对每个学习的人有所帮助. \text{Lpalace方法是根据清疏数学的内容书写的，后面也会添加进更多更经典的例题和手写笔记，希望对每个学习的人有所帮助.} Lpalace方法是根据清疏数学的内容书写的，后面也会添加进更多更经典的例题和手写笔记，希望对每个学习的人有所帮助.