线性代数 - 02行列式

基础知识

• 几何意义

1. $\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$ 表示平行四边形的面积, 记 ${\alpha }_1$ = $\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\end{array}\right]$, ${\alpha }_2$ = $\left[\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\end{array}\right]$, 如下图所示, 两个向量所成的平行四边形为OABC, ($S_{OABC}=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$):
   2. 同理, 三阶行列式可以表示平行六面体的体积.

行列式展开计算

• 二元线性方程组与二阶行列式

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式

• 三阶行列式

1. $\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$ = $a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}$
2. 带正号的三项列标排列是 123,231,312; 都是偶排列
   带负号的三项列标排列是 132,213,321. 都是奇排列
   因此各项所带的正负号可以表示为$(-1{)}^t$, t 为列标排列的逆序数.

• 全排列

1. 把 n 个不同的元素排成一列,叫做这 n 个元素的全排列(也简称排列)
   (1) n 个不同元素的所有排列的种数,通常用 $P_n$ 表示, $P_n$ = n !
2. 对于 n 个不同的元素, 先规定各元素之间有一个标准次序(例可规定由小到大为标准次序),于是在这 n 个元素的任一排列中,当某一对元素的先后次序与标准次序不同时,就说它构成 1 个逆序.
   (1) 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.
   (2) 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列.

例: 排列 32514的逆序数: t = ${\sum }_{i=1}^5{t}_i$ = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5.

• 对换

1. 在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换. 将相邻两个元素对换,叫做相邻对换.
   (1)定理1: 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.
   (2) 奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数,偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数.

• n 阶行列式

1. $\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& ...& a_{1n}\\ ...& ...& ...\\ a_{n1}& ...& a_{nn}\end{array}\right]$ = $\sum$ $(-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}...a_{n{p}_n}$

• 行列式的性质

1. 行列式与它的转置行列式相等
2. 对换行列式的两行(列),行列式变号.
   (1) 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零
3. 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘同一数 k,等于用数 k 乘此
   行列式
4. 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零.
5. 把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对
   应的元素上去,行列式不变.
6. 当某一行(或列)的元素为两数之和时,行列式关于该行
   (或列)可分解为两个行列式

• 行列式按行(列)展开

1. 在 n 阶行列式中,把(i,j)元 $a_{ij}$ 所在的第 i 行和第j 列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元$a_{ij}$的余子式,记作 $M_{ij}$; 记$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ ,$A_{ij} 叫做(i,j)元 $a_{ij}$ 的代数余子式.
   (1) 一个 n 阶行列式,如果其中第 i 行所有元素除(i,j)元 $a_{ij}$ 外都为零,那么这行列式等于 $a_{ij}$与它的代数余子式的乘积,即 D = $a_{ij} $A_{ij} .
   (2) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积
   之和,即 D = $a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in}$, (i= 1,2, …,n).
   或 D = $a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+...+a_{nj}{A}_{nj}$, (j= 1,2, …,n).
   (3) 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式
   乘积之和等于零. 即 $a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+...+a_{in}{A}_{jn}$ = 0, i≠j
   或 $a_{1i}{A}_{1j}+a_{2i}{A}_{2j}+...+a_{ni}{A}_{nj}$ = 0, i≠j.