线性代数 - 02行列式

行列式

  • 基础知识
  • 行列式展开计算

基础知识

  • 几何意义
  1. [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right] [a11a21a12a22] 表示平行四边形的面积, 记 α 1 \alpha_1 α1 = [ a 11 a 12 ] \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12}\end{matrix}\right] [a11a12], α 2 \alpha_2 α2 = [ a 21 a 22 ] \left[\begin{matrix} a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right] [a21a22], 如下图所示, 两个向量所成的平行四边形为OABC, ( S O A B C = a 11 a 22 − a 12 a 21 S_{OABC} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} SOABC=a11a22a12a21):
    线性代数 - 02行列式_第1张图片2. 同理, 三阶行列式可以表示平行六面体的体积.

行列式展开计算

  • 二元线性方程组与二阶行列式

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式

  • 三阶行列式
  1. [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right] a11a21a31a12a22a32a13a23a33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31} a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31
  2. 带正号的三项列标排列是 123,231,312; 都是偶排列
    带负号的三项列标排列是 132,213,321. 都是奇排列
    因此各项所带的正负号可以表示为 ( − 1 ) t (-1)^t (1)t, t 为列标排列的逆序数.
  • 全排列
  1. 把 n 个不同的元素排成一列,叫做这 n 个元素的全排列(也简称排列)
    (1) n 个不同元素的所有排列的种数,通常用 P n P_n Pn 表示, P n P_n Pn = n !
  2. 对于 n 个不同的元素, 先规定各元素之间有一个标准次序(例可规定由小到大为标准次序),于是在这 n 个元素的任一排列中,当某一对元素的先后次序与标准次序不同时,就说它构成 1 个逆序.
    (1) 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.
    (2) 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列.

例: 排列 32514的逆序数: t = ∑ i = 1 5 t i \sum_{i=1}^5 t_i i=15ti = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5.

  • 对换
  1. 在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换. 将相邻两个元素对换,叫做相邻对换.
    (1)定理1: 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.
    (2) 奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数,偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数.
  • n 阶行列式
  1. [ a 11 . . . a 1 n . . . . . . . . . a n 1 . . . a n n ] \left[\begin{matrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nn}\end{matrix}\right] a11...an1.........a1n...ann = ∑ \sum ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 . . . a n p n (-1)^t a_{1p_1} a_{2p_2} ... a_{np_n} (1)ta1p1a2p2...anpn
  • 行列式的性质
  1. 行列式与它的转置行列式相等
  2. 对换行列式的两行(列),行列式变号.
    (1) 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零
  3. 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘同一数 k,等于用数 k 乘此
    行列式
  4. 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零.
  5. 把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对
    应的元素上去,行列式不变.
  6. 当某一行(或列)的元素为两数之和时,行列式关于该行
    (或列)可分解为两个行列式
  • 行列式按行(列)展开
  1. 在 n 阶行列式中,把(i,j)元 a i j a_{ij} aij 所在的第 i 行和第j 列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元 a i j a_{ij} aij的余子式,记作 M i j M_{ij} Mij; 记 A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij} =(-1)^{i+j} M_{ij} Aij=(1)i+jMij ,$A_{ij} 叫做(i,j)元 a i j a_{ij} aij 的代数余子式.
    (1) 一个 n 阶行列式,如果其中第 i 行所有元素除(i,j)元 a i j a_{ij} aij 外都为零,那么这行列式等于 a i j a_{ij} aij与它的代数余子式的乘积,即 D = $a_{ij} $A_{ij} .
    (2) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积
    之和,即 D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + . . . + a i n A i n a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} +... +a_{in} A_{in} ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin, (i= 1,2, …,n).
    或 D = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + . . . + a n j A n j a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} +... +a_{nj} A_{nj} a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj, (j= 1,2, …,n).
    (3) 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式
    乘积之和等于零. 即 a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + . . . + a i n A j n a_{i1} A_{j1} + a_{i2} A_{j2} +... +a_{in} A_{jn} ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn = 0, i≠j
    a 1 i A 1 j + a 2 i A 2 j + . . . + a n i A n j a_{1i} A_{1j} + a_{2i} A_{2j} +... +a_{ni} A_{nj} a1iA1j+a2iA2j+...+aniAnj = 0, i≠j.

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