LC1035. 不相交的线（java - 动态规划）

题目描述

难度 - 中等
LC1035. 不相交的线（java - 动态规划）

在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。
现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：
nums1[i] == nums2[j]
且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。
以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。

示例1：
输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]
输出：2
解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。
但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。

示例 2：
输入：nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2]
输出：3

示例 3：
输入：nums1 = [1,3,7,1,7,5], nums2 = [1,9,2,5,1]
输出：2

提示：
1 <= nums1.length, nums2.length <= 500
1 <= nums1[i], nums2[j] <= 2000

动态规划

这是一道「最长公共子序列（LCS）」的轻度变形题。
为了让你更好的与「最长公共子序列（LCS）」裸题进行对比，我们使用 s1 代指 nums1，s2s2s2 代指 nums2。

对于这类题都使用如下「状态定义」即可：
f[i][j] 代表考虑 s1 的前 i 个字符、考虑 s2 的前 j 的字符，形成的最长公共子序列长度。
然后不失一般性的考虑 f[i][j] 如何转移。

由于我们的「状态定义」只是说「考虑前 i 个和考虑前 j 个字符」，并没有说「一定要包含第 i 个或者第 j 个字符」（这也是「最长公共子序列 LCS」与「最长上升子序列 LIS」状态定义上的最大不同）。

我们需要考虑「不包含 s1[i]，不包含 s2[j]」、「不包含 s1[i]，包含 s2[j]」「包含 s1[i]，不包含 s2[j]、「包含 s1[i]，包含 s2[j]」四种情况：

不包含 s1[i]，不包含 s2[j]：结合状态定义，可以使用 f[i−1][j−1]进行精确表示。
包含 s1[i]，包含 s2[j]：前提是 s1[i]=s2[j]，可以使用 f[i−1][j−1]+1 进行精确表示。
不包含 s1[i]，包含 s2[j]：结合状态定义，我们无法直接将该情况表示出来。 注意 f[i−1][j]只是表示「必然不包含 s1[i]，但可能包含s2[j]」的情况，也就是说 f[i−1][j]其实是该情况与情况 1 的合集。 但是由于我们求的是「最大值」，只需要确保「不漏」即可保证答案的正确（某些情况被重复参与比较不影响正确性），因此这里直接使用 f[i−1][j] 进行表示没有问题。
包含 s1[i]，不包含 s2[j]：与情况 333 同理，直接使用 f[i][j−1] 表示没有问题。

f[i][j] 就是在上述所有情况中取 max 而来，由于情况 1 被 情况 3 和 情况 4 所包含，因此我们只需要考虑 f[i−1][j]、f[i][j−1] 和 f[i−1][j−1]+1三种状态即可，其中最后一种状态需要满足 s1[i]=s2[j]前提条件。

代码演示

class Solution {
     public int maxUncrossedLines(int[] s1, int[] s2) {
         int n = s1.length;
         int m = s2.length;
         int[][]dp = new int[n + 1][m + 1];
         for(int i = 1; i <= n;i++){
             int num1 = s1[i - 1];
             for(int j = 1; j <= m;j++){
                if(num1 == s2[j - 1]){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);
                }
             }
         }
         return dp[n][m];
    }
}