数据结构之时间复杂度和空间复杂度

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前言

我们都知道算法是处理数据的方法，那么如何衡量一个算法的好坏呢？（即，判断该算法的效率如何）
由于算法在编写成可执行程序后，运行会消耗时间资源和空间（内存）资源，因此衡量一个算法的好坏一般通过时间和空间两个维度进行衡量。即，时间复杂度和空间复杂度。

一、时间复杂度

1.时间复杂度是什么？

时间复杂度是衡量一个算法运行的快慢。

2.如何计算时间复杂度？

找到某条基本语句与问题n之间的数学函数关系，就是找到了算法的时间复杂度。即，算法的时间复杂度本质上是一个数学的函数表达式。

1.时间复杂度计算的是算法运行所用的时间（单位：s）吗？

如果是第一次听说算法的时间复杂度，应该会片面的认为是计算一个算法运行所需要的时间。然而实际上由于机器的性能不同，以及一些不可控因素影响，一个算法运行的具体时间是无法计算出的（即，同一个算法在不同编译器上运行的时间是不一定相同的）。
那么我们该如何衡量一个算法的运行快慢呢？我们注意到算法的运行时间与算法中语句的执行次数是成正比例的，因此我们就把算法中基本操作的执行次数作为算法的时间复杂度。

2.时间复杂度是算具体的执行次数吗？

先看一个题（注释中标注了语句的执行次数）。

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N) //N*N + 2*N + 10
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)  //N*N
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)  //N
		{
			++count;
		}
	}

	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k) //2*N
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--) //10
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

我们不难计算出，Func执行的基本操作的次数为：
F(N) = NN+2N+10
N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) =1002010
可以看到当N 越大，后面两项对总数的影响就越小，N无限大时，后面两项可以忽略不计。
因此实际计算时，我们不一定要计算精确的执行次数，只需要一个大概的估算即可表示算法的时间复杂度即可。

3.如何估算时间复杂度？（大O的渐进表示法）

1.大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
大O的渐进表示法：（规则）
1.用常数1代替运行时间中所以加法常数
2.在修改后的运行次数中只保留最高次数项
3.如果最高次数项存在，并且不是1，则去除与最高次数项的系数

用大O的渐进表示法可以大致的表示出算法的大概量级。
可以直接看出，用大O渐进表示法以后，Func的时间复杂度为O(n^2)。

3.特殊的时间复杂度

有一些算法存在：最坏情况、最好情况和平均情况。
例如，在N个数中找最大的数
我们很容易知道，最坏情况是找n次，平均情况找n/2次，最好情况找1次
但是实际中，一般关注最坏运行情况（悲观保守的预估），因此这个查找的方法时间复杂度为O(n)。

4.时间复杂度的对数表示

计算时间复杂度时会出现有以二为底n的对数这种情况，具体有以下两种表示（图中绿色框里的）

一般情况下的对数都是以2为底的对数，所以简写也只针对以2为底。其他底数的对数形式没有简写，也很少出现。

二、空间复杂度

1.空间复杂度是什么？

空间复杂度是衡量一个算法运行所需要额外开辟的空间

2.如何计算空间复杂度？

本质上也是一个函数表达式，用来计算算法的空间效率

1.空间复杂度计算的是算法运行所开辟的空间（单位：bite）吗？

1.首先，空间复杂度计算的不是程序在运行过程中总共开辟的空间，而是临时（额外）开辟的空间（所谓额外，就是指不包括原有的空间）只需要计算这个算法所需要的额外空间即可。
2.其次，空间复杂度不是计算不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

注意：
1.函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运的得时候申请的额外空间来确定。
2.在栈区或者堆区开辟的额外空间都要计算上。

2.空间复杂度是算具体的变量数吗？

空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也是使用大O渐进表示法，只需要计算出它大概属于哪个量级即可。（时间复杂度中已经介绍过大O的渐进表示法，这里就不再赘述了）

实际上，目前我们更关注时间复杂度，不太关注空间复杂度，原因可以参考摩尔定律。因为目前的机器内存空间都比较大，所有可以不太注重（但是也不能耗费太多）。
摩尔定律：摩尔定律是英特尔创始人之一戈登·摩尔的经验之谈，其核心内容为：集成电路上可以容纳的晶体管数目在大约每经过18个月到24个月便会增加一倍。换言之，处理器的性能大约每两年翻一倍，同时价格下降为之前的一半。

三、常见的复杂度对比（含图）

例子	复杂度（大O渐进表示法）	量级
5201314	O(1)	常数阶
3n+4	O(n)	线性阶
3n^2+4n+5	O(n^2)	平方阶
3logn+4	O(logn)	对数阶
2n+3nlogn+14	O(nlogn)	nlogn阶
n^3+2n+6	O(n^3)	立方阶
2^n	O(2^n)	指数阶

对比图如下：

可以看出时间复杂度虽然不能直接表示出算法运行所需的时间，但是可以对比出不同算法的效率高低。

注意

1.计算时间复杂度不能直接数循环，要根据算法的逻辑来计算。
2.空间是可以重复利用的，不用累计；（递归过程中/循环过程中，一些在栈区开辟的空间经过函数栈帧的创建与销毁，这些空间是可以重复利用的） 而时间是一去不复返的，需要累计。（时间是不能重复利用的）

总结

以上就是今天要讲的内容，本文主要介绍了衡量一个算法好坏的方法，即算法的时间复杂度和空间复杂度，同时还介绍了如何计算复杂度以及一些常见复杂度的对比。
本文作者也是一个正在学习编程的萌新，目前也只是刚开始接触数据结构这方面的内容，如果有什么内容方面的错误或者不严谨，欢迎大家在评论区指出。
最后，如果本篇文章对你有所启发的话，也希望可以支持支持作者，谢谢大家！