你真的会买股票吗？三道题教你买股票(动态规划)
文章目录
- 一 121. 买卖股票的最佳时机 1
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- 1.题目描述
- 2.问题分析
- 3.代码实现
- 122. 买卖股票的最佳时机 II
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- 1.题目描述
- 2.问题分析
- 3.代码展示
- 4. 其他解法（贪心算法）
- 123. 买卖股票的最佳时机 III
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- 1.题目描述
- 2.问题分析
-
- 3.代码分享
- 复盘
一 121. 买卖股票的最佳时机 1
1.题目描述
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
示例 1：
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
示例 2：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
提示：
- 1 <= prices.length <= 105
- 0 <= prices[i] <= 104
2.问题分析
- 先来回顾动态规划的基本操作步骤
- 1.决定dp数组的定义，其意义一般是题目所求的答案
- 2.确定状态转移方程或者说是递推关系式
- 3.确定初始值（递推关系式无法适用的范围）
- 4.根据初始值与状态转移方程求目标值
- 返回最后所需要的目标值
- 1.由于题目要求最大利润，那么我们所定义的数其意义就是最大利润，而且题目没有其他的限制条件，可以先确定为一维数组，dp[i]代表前n天所得到的最大利润
- 2.确定方程式，在0与价格和之前最小价格的差值之间取最大值dp[i]=max(dp[i-1],prise[i]-min)
- 3.初始的min为prise[0];随后逐渐更改min
- 4.求目标值
3.代码实现
int Max(int x,int y)
{
return(x>y?x:y);
}
int maxProfit(int* prices, int pricesSize){
int dp[pricesSize];
dp[0]=0;//初始值
int min=prices[0],i; //初始值
for(i=1;i<pricesSize;i++)
{
if(prices[i]<min)
min=prices[i];
dp[i]=Max(dp[i-1],prices[i]-min);//递推关系式
}
return dp[i-1];
}
注意：由于这道题相对简单，还有其他的办法，如一次遍历
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int n = (int)prices.size(), ans = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i){
for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
ans = max(ans, prices[j] - prices[i]);
}
}
return ans;
}
};
122. 买卖股票的最佳时机 II
1.题目描述
给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。
在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。
返回 你能获得的 最大 利润 。
示例 1：
输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
总利润为 4 + 3 = 7 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
总利润为 4 。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0 。
提示：
- 1 <= prices.length <= 3 * 104
- 0 <= prices[i] <= 104
2.问题分析
- 于上一题不同的是这次可以进行多次操作，但是依旧走我们的步骤
- 1.确定dp的含义是该天的最大利润，问题来了，之前我们dp[i]代表的是第i天的最大利润，这是因为第i天一定是卖出了股票，但是现在不一定了，有可能手持股票继续交易，也有可能股票出售不在交易。那么现在的递推关系式怎么办？
- 仔细一想其实题目中隐含了状态条件，每天的状态有两种：持有股票与不持有股票，除了天数，每天又增加了两个状态，所以我们设计dp[i][0],dp[i][1]，标志每天的两种状态下的最大利润。
- 2.确定初始值。dp[0][0]表示第一天不买股票，即0；dp[0][1]代表第一天买进股票，即-prise[0];
- 3.确定递推关系式：
- 如果这一天没有股票，有可能是前一天依然没有股票然后没有操作，也有可能是前一天持有股票在今天卖了，两者情况取最大值：
-
dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prise[i]); - 如果这一天有股票，也有两种情况，要么昨天就有股票今天没有操作，或者昨天没有股票今天买进，两者取最大值
-
dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prise[i]); - 4.根据初始值与递推关系式求解目标值
3.代码展示
int max(int x,int y)
{
return x>y?x:y;
}
int maxProfit(int* prices, int pricesSize){
if(pricesSize<2)
return 0;
int dp[pricesSize][2];
dp[0][0]=0;
dp[0][1]=-prices[0];//初始值
int i=0,j;
for(i=1;i<pricesSize;i++)
{
dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);
dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);//递推关系式
}
return (dp[i-1][0]);
}
4. 其他解法（贪心算法）
本题目还可以用贪心算法求解
贪心就是只考虑本次的最优解，每次步骤都是最优解，最后加起来也是最优解
每次将股票于下一天的作比较，如果涨了就买，不涨就不买
int maxProfit(int* prices, int pricesSize){
int i,ans=0;
for(i=0;i<pricesSize-1;i++)
{
if(prices[i]<prices[i+1])
ans+=(prices[i+1]-prices[i]);
}
return ans;
}
123. 买卖股票的最佳时机 III
1.题目描述
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入：prices = [1]
输出：0
提示：
- 1 <= prices.length <= 105
- 0 <= prices[i] <= 105
2.问题分析
- 是不是感觉有点吃力？没关系因为这是leetcode的困难的题目让我们先分析一波
- 1.确定dp的含义，就是第i天的最大利润，有了第二道题目的基础，这道题增加了一个限制条件：只能操作2次，又与第二道不同了
- 第二题目之中每天有两种状态：买入或卖出
- 但是此时我们便有了5种状态
- 1.不操作
- 2.第一次买入，手持股票
- 3.第一次卖出，不持有股票
- 4.第二次买入，手持股票
- 5.第二次卖出，不持有股票
- 但是第一种不操作的情况为0，我们不予以讨论，没有递推关系式
- 那么便可以设计以下数组dp[i][4]
- dp[i][0]=第i天第一次买入，手持股票
- dp[i][1]=第i天第一次卖出，不持有股票
- dp[i][2]=第i天第二次买入，手持股票
- dp[i][3]=第i天第二次卖出，不持有股票
- 2.确定递推关系式
- dp[i][0]=第i天第一次买入，手持股票，有可能是前一天就有是第一次买入的股票没有操作，或者是前一天没有股票今天买入，两种情况取最大值：
-
dp[i][0]=max(dp[i-1][0],0-prise[i]); - dp[i][1]=第i天第一次卖出，不持有股票，有可能是前一天就是第一次卖出不持有股票不操作，也可能是前一天持有股票今天卖出
-
dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prise[i]); - 以下同理
-
dp[i][2]=max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]-prise[i]); -
dp[i][3]=max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]+prise[i]); - 3.确定初始值
-
dp[0][0]=-prise[0];表示第一天买进 -
dp[0][1]=0;表示第一天买进又卖出 -
dp[0][2]=-prise[0];表示第一天买进卖出又买进 -
dp[0][3]=0; - 4.根据递推关系式与初始值求解
3.代码分享
int max(int x,int y)
{
return (x>y?x:y);
}
int maxProfit(int* prices, int pricesSize){
if(pricesSize<2)
return 0;
int dp[pricesSize][4];
dp[0][0]=-prices[0];
dp[0][1]=0;
dp[0][2]=-prices[0];
dp[0][3]=0;
int i,j;
for(i=1;i<pricesSize;i++)
{
dp[i][0]=max(dp[i-1][0],-prices[i]);
dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);
dp[i][2]=max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]-prices[i]);
dp[i][3]=max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]+prices[i]);
}
return(dp[i-1][3]);
}
复盘
- 关键是确定dp的含义与确定递推关系式
- 递推关系式的求解要结合具体的问题，努力找与前一项之间的关系
- 注意题目之中的隐含状态：如题目之中的买进与卖出