CYEZ 模拟赛 2

题面

A 毒瘤计数题

萌萌题。

枚举 $i=\min (S)$，答案就是 ${\sum }_{i=1}^n{2}^{n-i}(2^{i-1}-1)$，容易化成 $n\times 2^{n-1}-2^n+1$。

开 __int128。

代码

B 普通图论题

卡卡题。

$O(n)$ 换根。记录最小值、次小值。

代码

C 简单数据结构题

难难题。

算法 1：

标记区间的并，枚举关系，时间复杂度 $O(q(n+m))$。

算法 2：

把互斥关系视为二维点。对于 $x\in [l_i,r_i]$，$\forall j$，数 $y\in [l_i,r_j]$ 时是否有点。

二维数点一般做法是用 BIT，我们将询问离线后搭配扫描线可以做到 $O((\sum k^2+m)\log n)$。

对于在线做法，考虑可持久化线段树。具体地，考虑维护 $n$ 棵线段树，每棵线段树维护 $x\in [1,i]$ 的矩阵点数。查矩形 $(l_i,r_i)(l_j,r_j)$ 就拿第 $r_i$ 棵线段树的区间询问减去第 $l_i-1$ 棵的。复杂度 $O(m\log n+\sum k^2\log n)$。

根号分治

算法 1 在 $q$ 较小时效率较高，算法 2 在 $k$ 较小时效率较高。而随着 $q$ 的增大，$k$ 减小。因此考虑分治，$k>B$ 时算法 1，$k\le B$ 时算法 2。

分别计算上界：算法 1 至多执行 $\frac{\sum k}{B}$ 次，上界 $O(\frac{\sum k}{B}(n+m))$。算法 2 在 $k$ 较大时会取到上界，所有的 $k=B$ 时，算法 2 至多执行 $\frac{\sum k}{B}$ 次，上界 $O(\frac{\sum k}{B}\times B^2\log n)$。

总时间复杂度为 $O(\frac{\sum k}{B}(n+m)+\frac{\sum k}{B}\times B^2\log n)$。$n,m,q,\sum k$ 同阶时，$B=\sqrt{\frac{n}{\log n}}$ 时取得最小值。

实现

小 trick：只需要存有用的结点，即不建树，只修改。

代码

总结

预估 $100+100+40=240$，实际 $100+90+60=250$。B 同样的代码赛后能过，评测机的锅。萌新 A B 花的时间有点长，遂 C 打了个还算优秀的暴力，转二维数点和根号分治比较难想到。