第一周学习进度
1.1
P1586
题意：DAG，求从s到t所有不同的路径的长度和
SOL：考虑DP， t [ x ] t[x] t[x]表示点x会被经过多少次，对于边 ( u , v , w ) (u,v,w) (u,v,w)，贡献为 w ∗ t [ x ] w*t[x] w∗t[x]， f [ x ] f[x] f[x]表示到x的长度和， f [ v ] + = f [ u ] + w ∗ t [ u ] f[v]+=f[u]+w*t[u] f[v]+=f[u]+w∗t[u]，拓扑排序转移即可
P1983
题意：给定若干个1-n的子序列，每个子序列首尾之间未被选中的点的等级比被选中的点等级低，求整个序列最高等级的点的等级最小是多少
SOL：原题复杂度随便过，考虑更大的复杂度。
暴力做法：单独考虑每个子序列，未被选中的点向所有被选中的点连边表示一个小于关系，全连完边之后做拓扑排序。边数是 n 3 n^3 n3级别，n个序列，每个序列可以连 n 2 n^2 n2条边
优化1：设虚点，未被选中的点→虚点→被选中的点，每个序列优化到 O ( n ) O(n) O(n)条边
优化2：线段树优化建图，考虑未被选中的点会被被选中的点分成一个一个区间，将未被选中的区间用线段树优化，进一步优化未选中的点→虚点这一层的边数至 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)
P4934
题意：给定若干个互不相同的数 a i a_i ai，最小化分组数量，要求满足 a i & a j ≥ min ( a i , a j ) a_i \&a_j\ge\min(a_i,a_j) ai&aj≥min(ai,aj)的不能分在一组， n ≤ 1 0 6 n\le 10^6 n≤106
SOL：由于 a i & a j ≤ max ( a i , a j ) a_i \& a_j \le \max(a_i,a_j) ai&aj≤max(ai,aj)，易得满足题意性质的只能是 a i & a j = a i , a i < a j a_i \& a_j=a_i,a_i
优化一下边数，每个点可以只向和他有一位不同的点连边，这个不同是有传递性的，还是对的，就可以拓扑排序了
for (int i=0;i<(1<<k);i++)
{
for (int now=1;now<=i;now<<=1)
if (i&now) addedge(i,i-now);
}
1.8
P2597
题意：给定一个食物链，保证是个DAG，求对于每个生物，他如果灭绝了，会导致多少其他物种的灭绝。
SOL：支配树。
支配：对于一个有向图和起点s，称点k支配点x，当且仅当去掉点k后s无法到达x，即s到x的所有路径都经过k。
将一个点与他最近的支配点连边构成的树形结构就是支配树。
对于DAG求支配树，方法比较简单。
考虑一个点如果想要灭绝，那他的所有食物必须都灭绝，所以关系是“捕食者->被捕食者”，即捕食者的后继是被捕食者。对捕食关系构成的图做拓扑排序后，考虑在求解一个生物时，必须已经求解完所有的食物，所以要逆着拓扑序做。
那么一个点想要灭绝的条件是所有食物都灭绝，假设已经构建了所有食物的支配树，那么该点在支配树的父亲就应该是所有食物支配树的LCA。复杂度 O ( m log n ) O(m\log n) O(mlogn)，代码还闲的无事练习了一下继承
#include
//for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
for (int i=T.e[T.head[x]].next;i;i=T.e[i].next)
{
int v=T.e[i].to;
//cout<
LCA=query(LCA,v);
}
//cout<"<
f[x][0]=LCA,addedge(LCA,x);
deep[x]=deep[LCA]+1;
for (int i=1;i<LOG;i++) f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
}
}
void dfs(int x)
{
cout<<x<<endl;
sz[x]=1;
for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
dfs(v);
sz[x]+=sz[v];
}
}
}D_T;
int main()
{
int n=read();
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int fr=read();
int num=0;
while (fr)
{
T.addedge(fr,i);
fr=read();
num++;
}
if (!num) T.addedge(n+1,i);
}
n++;
T.tp_sort(n);
D_T.build(n);
D_T.dfs(n);
for (int i=1;i<n;i++) cout<<D_T.sz[i]-1<<'\n';
return 0;
}
1.10
欧拉回路：无向图所有点都是偶度，随便定起点终点，有向图所有点入度=出度，随便定起点终点。
欧拉路：无向图有两个奇度点，一个起点一个终点，有向图有恰好一个度为1和恰好一个度为-1，一个起点一个终点
大部分时候不需要写出来路径是什么，只需要用到思想。
P6628
题意：给定一个n个点的完全图，每条边的长度为两点编号之差的绝对值，给定m条边为必须经过，给定起点s，求从起点s经过必经边到达每个点的最短距离。
SOL：如果只考虑必经边，本题转化为添加一些边，使得原图是s到i的欧拉路。先对给定的边求出每个点的度数并算出必须走的长度和，给s和i连一条边（不算长度，后续处理方便），然后把所有奇度点拿出来，相邻的奇度点连边肯定代价最小。然后整个图变成了若干个“欧拉联通块”，再在所有的联通块之间加两条边即可，本质是把所有相邻的点拿出来做最小生成树，注意要把零度点踢掉，没有必要访问到。
还有个小坑，在连接相邻奇度点的时候，虽然本质是连了一条长为u-v的边，但是可以看做是连接了u-v条长度为1的边，这样可以把两个奇度点之间夹着的偶度联通块合并起来，为第二步合并欧拉联通块节省距离。
#include
int ans=presum;
for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=findpre(prefa[i]);
d[ed]++,d[st]++;
if (find(ed)!=find(st)) fa[find(ed)]=find(st);
vector <int> vec;
for (int i=1;i<=n;i++) if (d[i]&1) vec.push_back(i);
//cout<
for (int i=1;i<vec.size();i+=2)
{
ans+=vec[i]-vec[i-1];
for (int j=vec[i-1];j<vec[i];j++)
{
int f1=find(j),f2=find(j+1);
if (f1!=f2) fa[f1]=f2;
}
}
//cout<
vec.clear();
for (int i=1;i<=n;i++) if (d[i]) vec.push_back(i);
//cout<
vector <pair<int,pa>> e;
for (int i=1;i<vec.size();i++)
{
int u=find(vec[i-1]),v=find(vec[i]);
if (u==v) continue;
//cout<
e.push_back(mp(abs(vec[i]-vec[i-1]),mp(u,v)));
}
sort(e.begin(),e.end());
for (int i=0;i<e.size();i++)
{
int f1=find(e[i].se.fi),f2=find(e[i].se.se);
if (f1==f2) continue;
fa[f1]=f2;
ans+=2*e[i].fi;
}
d[ed]--,d[st]--;
cout<<ans<<' ';
}
return 0;
}
1.12
tarjan算法，注意low数组的含义是只走小于等于一条返祖边能够到达的最小dfn
1.15
强连通分量对应有向图
双连通分量对应无向图