2019-03-18 一元多项式的加法和乘法运算

概念

上次学习了数据结构的基本概念， 并用了一个简单的例子来进行了说明。这一次主要学习的是线性结构的概念及其使用。对于线性概念，在学习之前的概念就是链表，可能链表还有堆栈就代表线性结构，在学习了之后才明白线性结构是一种解决问题是抽象数据类型，可以不准确地理解为一种模板（类似于物理里斜面模板这种模板），是一种解决问题的方式。而其解决的问题主要针对于问题中的数据在经过划分之后是可以在一维情况下讨论的（并不是代表问题本身的数据只是一维的）。
其实现的具体方法主要有顺序结构和链式结构。顺序结构很容易理解，也就是在物理上和逻辑上都是连续排列的，例如在过去解决问题时使用的数组就是顺序结构，所以虽然一开始感觉这些概念很陌生，其实后续的学习只是进行了系统的讲解，在之前的解题时已经不自知的使用了。而链式结构就只是在逻辑上连续，在物理上是分开的。可以这样理解，数组这种顺序结构就好比买了一条商业街，然后你的分店（也就是数据）是按照这个商业街的方向排列的，一号就在第一个，二号就在一号的旁边，以此类推。而链式结构则是先开一家总店，然后再在全国各地开分店，不过每一家店都告诉你下一号店的地址在哪，方便你去访问。考虑到逻辑的简便性和代码的复杂度，肯定是一次性把店面开好，也就是顺序结构更方便，但是链式的好处就是可以根据需要来进行数据的添加。具体实现方式的选择还是看具体题目，如果题目中明确给出了数据的个数，并且使用数组不会出现内存溢出的情况，就使用数组，否则使用链表。
说了实现方式，具体的线性结构可以根据其数据进出方式分为队列和堆栈，如果要存储的数据类型是自定义的话则可以使用线性表来进行存储。数据是FIFO的话就需要使用队列，FILO的话则是使用堆栈。具体实现方式在此不细说。

例题

题目链接：https://pintia.cn/problem-sets/1077214780527620096/problems/1103507412634030081

题目描述

一元多项式的乘法与加法运算 （20 point(s))
设计函数分别求两个一元多项式的乘积与和。

输入格式:

输入分2行，每行分别先给出多项式非零项的个数，再以指数递降方式输入一个多项式非零项系数和指数（绝对值均为不超过1000的整数）。数字间以空格分隔。

输出格式:

输出分2行，分别以指数递降方式输出乘积多项式以及和多项式非零项的系数和指数。数字间以空格分隔，但结尾不能有多余空格。零多项式应输出0 0。

输入样例:

4 3 4 -5 2 6 1 -2 0
3 5 20 -7 4 3 1
输出样例:

15 24 -25 22 30 21 -10 20 -21 8 35 6 -33 5 14 4 -15 3 18 2 -6 1
5 20 -4 4 -5 2 9 1 -2 0

本题是跟着MOOC上的教程来一步一步推进的，但是需要真正独立写完才能算掌握。

分析

首先看数据的类型，是一个多项式，题目中要求用其系数和指数来进行表示，所以我们可以使用链表来进行存储。首先对每个结点进行定义，每个结点包含了系数c和指数e，以及指向下一个结点的指针next。

typedef struct PolyNode *PolyNum;
struct PolyNode{
    int c;
    int e;
    PolyNum next;//这里的next是一个PolyNode类型的指针，这里没有初始化，则需要注意使用时的初始化
};

主函数的框架很简单

int mian()
{
    PolyNum P1, P2, PS, PM;
    P1 = readp();
    P2 = readp();
    PS = Add(P1, P2);
    PM = Mul(P1, P2);
    printp(PM);
    printp(PS);
    return 0;
}

然后是各个函数模块之间的设计，其中读入、相加以及相乘在总体上思路相同，都是新建一个链表，然后依次向里添加结点，不过后两者需要一定的判断条件，而输出模块就是简单的对链表的遍历。这里需要注意的就是每一次遍历后一定要让尾指针指向当前结点的下一个结点（相当于循环中的i++）。加法的设计比较简单，首先对公共部分进行判断，然后再将剩下的添加即可。这里说一下乘法的思路：首先先让第一个多项式的第一项，乘上第二个多项式的每一项，得到一个链表，然后再进行一个二重循环，将相乘的每一项向链表中进行添加，这里就需要一个尾指针来对链表进行遍历来实现指数递减的操作。

完整代码

#include 
#include 

typedef struct PolyNode *PolyNum;
struct PolyNode{
    int c;
    int e;
    PolyNum next;
};

void attach(int c, int e, PolyNum *tail){
    PolyNum P_new;
    P_new = (PolyNum)malloc(sizeof(struct PolyNode));
    P_new->c = c;
    P_new->e = e;
    P_new->next = NULL;
    (*tail)->next = P_new;
    *tail = P_new;
}

PolyNum readp(){
    PolyNum P, t, tail;
    P = (PolyNum)malloc(sizeof(struct PolyNode));
    P->next = NULL;
    tail = P;
    int c, e, n;
    scanf("%d", &n);
    while(n--){
        scanf("%d %d", &c, &e);
        attach(c, e, &tail);
    }
    t = P;
    P = P->next;
    free(t);
    return P;
}

void PrintP(PolyNum P_out){
    int flag = 0;
    if(P_out == NULL){//多项式为0
        printf("0 0\n");
        return;
    }
    else{
        while(P_out){
            if(P_out->c != 0){
                if(flag == 0){
                    flag = 1;
                }
                else{
                    printf(" ");
                }
                printf("%d %d", P_out->c, P_out->e);
            }
            P_out = P_out->next;
        }
    }
    printf("\n");
    return;
}

PolyNum Add(PolyNum P1, PolyNum P2){
    PolyNum PS, tail, t;
    PS = (PolyNum)malloc(sizeof(struct PolyNode));
    PS->next = NULL;
    tail = PS;
    while(P1&&P2){
        if(P1->e == P2->e){
            if(P1->c + P2->c != 0){
                attach(P1->c + P2->c, P1->e, &tail);
            }
            P1 = P1->next;
            P2 = P2->next;
        }
        else if(P1->e > P2->e){
            attach(P1->c, P1->e, &tail);
            P1 = P1->next;
        }
        else{
            attach(P2->c, P2->e, &tail);
            P2 = P2->next;
        }
    }
    while(P1){
        attach(P1->c, P1->e, &tail);
        P1 = P1->next;
    }
    while(P2){
        attach(P2->c, P2->e, &tail);
        P2 = P2->next;
    }
    t = PS;
    PS = PS->next;
    free(t);
    return PS;
}

PolyNum Mul(PolyNum P1, PolyNum P2){
    PolyNum PM, t, tail, t1, t2, de;
    int c, e;
    t1 = P1;
    t2 = P2;
    PM = (PolyNum)malloc(sizeof(struct PolyNode));
    PM->next = NULL;
    tail = PM;
    if(!t1 || !t2){
        return NULL;
    }
    while(t2){
        c = t1->c * t2->c;
        e = t1->e + t2->e;
        attach(c, e, &tail);
        t2 = t2->next;
    }
    t1 = t1->next;
    while(t1){
        t2 = P2;
        while(t2){
            tail = PM;
            c = t1->c * t2->c;
            e = t1->e + t2->e;
            while(tail->next && tail->next->e > e){
                tail = tail->next;
            }
            if(tail->next && tail->next->e == e){
                if((tail->next->c + c) != 0){
                    tail->next->c += c;  
                }
                else{
                    de = tail->next;
                    tail->next = de->next;
                    free(de);
                }
            }
            else{
                t = tail->next;
                attach(c, e, &tail);
                tail->next = t;
            }
            t2 = t2->next;
        }
        t1 = t1->next;
    }
    t = PM;
    PM = PM->next;
    free(t);
    return PM;
}

int main()
{
    PolyNum P1, P2, PS, PM;
    P1 = readp();
    P2 = readp();
    PS = Add(P1, P2);
    PM = Mul(P1, P2);
    PrintP(PM);
    PrintP(PS);
    return 0;
}

这里的申请结点空间也可以使用P = new PolyNode语句，比malloc简洁很多。

运行结果

之后有比较好的相关题目也会把链接粘贴到这。