高中奥数 2022-02-12

2022-02-12-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题二 P094 习题01）

设是一个2011元集合,为满足的整数.

证明:可以对的每个子集进行黑白两色染色,使得

(1)任意两个白色子集的并集仍为白色的;

(2)任意两个黑色子集的并集仍为黑色的;

(3)恰有个子集是白色的.

证明

将命题一般化,2011改为,对元集及证明结论都成立.

当时,的子集只有和,对,将它们中任意个染为白色,其余子集染为黑色,可知命题成立.

设命题对成立,考虑的情形将的子集分为含和不含的两个部分,这时.设的不含的子集为而含的子集为,其中,.

如果,那么用归纳假设对中的个染为白色,其余的染黑色,并且满足题中的条件后,将所有染为黑色,可知命题对成立;如果,设,那么.对用归纳假设中的方法,将其中个染为白色,其余的染黑色,使符合要求.然后将所有全部染为白色即可.

综上可知,命题对一切成立,当然对也成立.

2022-02-12-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题二 P094 习题02）

将2048个数排成一个圆,其中每个数都是或,现在同时将每个数都乘以它的右邻,用所得的乘积替换原来的数,这样便得到一圈新数.

求证:经有限次这样的操作后,圆周上的数都将变为.

证明

将2048推广为的情形,即证:对任意,将个或排成一个圆后,依题述操作,有限次后都将变为.

当时,依条件可得下面的操作序列

可知命题对成立.

设命题对成立,则对的情形,用表示圆上依次排列的个数,那么,有下面的操作序列
$\begin{aligned} &\left(x1,x_{2},\cdots,x_{2^{n+1}}\right)\\ \rightarrow&\left(x_{1}x_{2},x_{2}x_{3},\cdots,x_{2^{n+1}}x_{1}\right)\\ \rightarrow&\left(x_{1}x_{3},x_{2}x_{4},\cdots,x_{2^{n+1}}x_{2}\right). \end{aligned}$

把上面的两次操作“合并”,视为一次操作,则可知若圆上的个数和都能经有限次操作后变为全是,则命题获证.而这个要求正是归纳假设,所以,命题成立.

2022-02-12-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题二 P094 习题03）

设为任意实数.证明:

证明

不妨设.当时,,故命题对成立.设命题对成立,考虑的情形,令,,则
$\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^{n+1}\dfrac{x_{i}}{1+x_{1}^{2}+\cdots+x_{i}^{2}}&=\dfrac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+x_{1}^{2}}}\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{y_{i}}{1+y_{1}^{2}+\cdots+y_{i}^{2}}\\ &<\dfrac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}+\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{1+x_{1}^{2}}}. \end{aligned}$
现设,,则
$\begin{aligned} \dfrac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}+\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{1+x_{1}^{2}}}&=\sin \alpha\cos \alpha+\sqrt{n}\cos \alpha\\ &\leqslant \sin \alpha+\sqrt{n}\cos \alpha\\ &=\sqrt{n+1}\sin \left(\alpha+\varphi\right)\\ &\leqslant \sqrt{n+1}, \end{aligned}$

这里.

所以,当时命题成立,获证.

说明

此题还有一个巧妙的解答:记,则由Cauchy不等式知
$\begin{aligned} \left(\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{x_{i}}{1+x_{1}^{2}+\cdots+x_{i}^{2}}\right)^{2} & \leqslant n \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{x_{i}^{2}}{\left(1+x_{1}^{2}+\cdots+x_{i}^{2}\right)^{2}} \\ & \leqslant n \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{x_{i}^{2}}{\left(1+x_{0}^{2}+\cdots+x_{i-1}^{2}\right)\left(1+x_{0}^{2}+\cdots+x_{i}^{2}\right)} \\ &=n \sum\limits_{i=1}^{n}\left(\dfrac{1}{1+x_{0}^{2}+\cdots+x_{i-1}^{2}}-\dfrac{1}{1+x_{0}^{2}+\cdots+x_{i}^{2}}\right) \\ &=n\left(1-\dfrac{1}{1+x_{0}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}\right) \\ &<n . \end{aligned}$
故原不等式成立.

高中奥数 2022-02-12

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