Gram矩阵

Gram矩阵如何计算

Gram 矩阵是由一组向量的内积构成的矩阵。如果你有一组向量 $v_1,v_2,\dots ,v_n$，Gram 矩阵 $G$ 的元素 $G_{ij}$ 就是向量 $v_i$ 和向量 $v_j$ 的内积。数学上，Gram 矩阵的计算方式如下：

假设有 $n$ 个向量 $v_1,v_2,\dots ,v_n$，每个向量的维度为 $m$（这意味着每个向量都有 $m$ 个元素），则 Gram 矩阵 $G$ 的元素 $G_{ij}$ 计算如下：

$$G_{ij}=v_i\cdot v_j=\sum _{k=1}^m{v}_i[k]\cdot v_j[k]$$

其中，$v_i[k]$ 表示向量 $v_i$ 的第 $k$ 个元素，$v_j[k]$ 表示向量 $v_j$ 的第 $k$ 个元素。

Gram 矩阵通常是一个对称矩阵，因为 $G_{ij}=G_{ji}$，这是因为内积的交换性质。Gram 矩阵在机器学习和线性代数中有广泛的应用，例如在特征提取、核方法等领域。它可以用来表示向量之间的相似性和关联。

举例

让我们通过一个具体的示例来计算一个Gram矩阵。假设有三个二维向量：

$$v_1=[1,2]v_2=[3,4]v_3=[5,6]$$

我们想要计算这些向量的Gram矩阵$G$，根据前面的定义，我们计算每一对向量的内积来填充矩阵$G$的元素。

首先，计算$G_{11}$，即向量$v_1$与自己的内积：

$$G_{11}=v_1\cdot v_1=(1\cdot 1)+(2\cdot 2)=1+4=5$$

接下来，计算$G_{12}$，即向量$v_1$与向量$v_2$的内积：

$$G_{12}=v_1\cdot v_2=(1\cdot 3)+(2\cdot 4)=3+8=11$$

继续计算$G_{13}$，$G_{21}$，$G_{22}$，$G_{23}$，$G_{31}$，$G_{32}$，和$G_{33}$，按照同样的方式计算每一对向量的内积。

最终，我们得到Gram矩阵$G$如下：

G = [ 5 11 17 11 25 39 17 39 61 ] G = \begin{bmatrix} 5 & 11 & 17 \\ 11 & 25 & 39 \\ 17 & 39 & 61 \\ \end{bmatrix} G= ​51117​112539​173961​ ​

这就是这三个向量的Gram矩阵。每个元素$G_{ij}$表示了向量$v_i$和$v_j$之间的内积。这个矩阵在机器学习中可以用于许多任务，包括核方法和特征提取。