【每日一题Day333】LC2603收集树中金币 | 拓扑排序

收集树中金币【LC2603】

给你一个 n 个节点的无向无根树，节点编号从 0 到 n - 1 。给你整数 n 和一个长度为 n - 1 的二维整数数组 edges ，其中 edges[i] = [ai, bi] 表示树中节点 ai 和 bi 之间有一条边。再给你一个长度为 n 的数组 coins ，其中 coins[i] 可能为 0 也可能为 1 ，1 表示节点 i 处有一个金币。

一开始，你需要选择树中任意一个节点出发。你可以执行下述操作任意次：

• 收集距离当前节点距离为 2 以内的所有金币，或者
• 移动到树中一个相邻节点。

你需要收集树中所有的金币，并且回到出发节点，请你返回最少经过的边数。

如果你多次经过一条边，每一次经过都会给答案加一。

• 思路：拓扑排序+贪心

  • 首先，我们可以去掉不包含金币的子树【步骤a】，因为访问其中任何一个点都毫无意义。
    • 实现：拓扑排序，去除不含金币的叶子节点
  • 如果所有在叶子上的金币全部都能收集到，那么我们可以收集到树上所有金币。而由于可以「收集距离当前节点距离为 2以内的所有金币」，因此可以再次去除两轮有金币的叶子【步骤b】，剩余的结点即为必须经过的结点
    • 贪心：从距离有金币叶子为2的节点处出发【局部最优】，收集树中所有的金币，并且回到出发节点时经过的边数最少【全局最优】。
    • 实现：再次进行拓扑排序
  • 最终答案：从某个节点出发后，仍需要回到起点；因此最终答案为剩余边数乘以2。
    • 实现1：统计每个必须经过的节点的入队时间，如果一条边的两个节点的入队时间均大于2，那么这条边必须经过两次
    • 实现2：在拓扑排序时记录不需要遍历的边的数目【步骤a和步骤b的边数】，最后需要进行特判，如果所有节点均需要删除时，答案为-1，此时应与0取较大值

• 实现

  • 无向图，节点度为1时为叶子

  class Solution {
      public int collectTheCoins(int[] coins, int[][] edges) {
          int n = coins.length;
          List<Integer> g[] = new ArrayList[n];
          Arrays.setAll(g, e -> new ArrayList<>());
          var deg = new int[n];
          for (var e : edges) {
              int x = e[0], y = e[1];
              g[x].add(y);
              g[y].add(x); // 建图
              ++deg[x];
              ++deg[y];
          }
  
          // 用拓扑排序「剪枝」：去掉没有金币的子树
          var q = new ArrayDeque<Integer>();
          for (int i = 0; i < n; ++i)
              if (deg[i] == 1 && coins[i] == 0) // 无金币叶子
                  q.add(i);
          while (!q.isEmpty()) {
              int x = q.peek();
              q.pop();
              for (int y : g[x])
                  if (--deg[y] == 1 && coins[y] == 0)// 无金币叶子
                      q.add(y);
          }
  
          // 再次拓扑排序
          for (int i = 0; i < n; ++i)
              if (deg[i] == 1 && coins[i] == 1) // 有金币叶子
                  q.add(i);
          if (q.size() <= 1) return 0; // 至多一个有金币的叶子，直接收集
          var time = new int[n];
          while (!q.isEmpty()) {
              int x = q.peek();
              q.pop();
              for (int y : g[x])
                  if (--deg[y] == 1) {
                      time[y] = time[x] + 1; // 记录入队时间
                      q.add(y);
                  }
          }
  
          // 统计答案
          int ans = 0;
          for (var e : edges)
              if (time[e[0]] >= 2 && time[e[1]] >= 2)
                  ans += 2;
          return ans;
      }
  }
  
  作者：灵茶山艾府
  链接：https://leetcode.cn/problems/collect-coins-in-a-tree/solutions/2191371/tuo-bu-pai-xu-ji-lu-ru-dui-shi-jian-pyth-6uli/
  来源：力扣（LeetCode）
  著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
  

  • 复杂度

    • 时间复杂度：$O(E+V)$，$E$表示邻边的跳数，V为结点的个数

    • 空间复杂度：$O(V)$

• 实现2

  class Solution {
      public int collectTheCoins(int[] coins, int[][] edges) {
          int n = coins.length;
          List<Integer> g[] = new ArrayList[n];
          Arrays.setAll(g, e -> new ArrayList<>());
          var deg = new int[n];
          for (var e : edges) {
              int x = e[0], y = e[1];
              g[x].add(y);
              g[y].add(x); // 建图
              deg[x]++;
              deg[y]++; // 统计每个节点的度数（邻居个数）
          }
  
          int leftEdges = n - 1; // 剩余边数
          // 拓扑排序，去掉没有金币的子树
          var q = new ArrayDeque<Integer>();
          for (int i = 0; i < n; i++) {
              if (deg[i] == 1 && coins[i] == 0) { // 没有金币的叶子
                  q.add(i);
              }
          }
          while (!q.isEmpty()) {
              leftEdges--; // 删除节点到其父节点的边
              for (int y : g[q.poll()]) {
                  if (--deg[y] == 1 && coins[y] == 0) { // 没有金币的叶子
                      q.add(y);
                  }
              }
          }
  
          // 再次拓扑排序
          for (int i = 0; i < n; i++) {
              if (deg[i] == 1 && coins[i] == 1) { // 有金币的叶子（判断 coins[i] 是避免把没有金币的叶子也算进来）
                  q.add(i);
              }
          }
          leftEdges -= q.size(); // 删除所有叶子（到其父节点的边）
          for (int x : q) { // 遍历所有叶子
              for (int y : g[x]) {
                  if (--deg[y] == 1) { // y 现在是叶子了
                      leftEdges--; // 删除 y（到其父节点的边）
                  }
              }
          }
          return Math.max(leftEdges * 2, 0);
      }
  }
  
  作者：灵茶山艾府
  链接：https://leetcode.cn/problems/collect-coins-in-a-tree/solutions/2191371/tuo-bu-pai-xu-ji-lu-ru-dui-shi-jian-pyth-6uli/
  来源：力扣（LeetCode）
  著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
  

  • 复杂度

    • 时间复杂度：$O(E+V)$，$E$表示邻边的跳数，V为结点的个数

    • 空间复杂度：$O(V)$

• 升级：如果把题目中的 2 换成 0,1,2,3,⋯ ,n−1，你能把这些情况对应的答案全部算出来吗？

  遍历所有的边，如果两个节点的入队时间均大于q（最大距离），那么表示这条边必须要经过，结果+2