哥德尔不完备性定理

关于哥德尔不完备性定理，大家可以感受一下脑洞有多大： 数学家得出的结论都不是“总结”出来的，而是“证明”出来的，是建立在坚实的逻辑基础之上。哥德尔证明了，在自然数的公理系统中，不但你们想要的那种机械化的自动证明不存在—而且对有些命题来说，连“证明”本身，都根本就不存在！ 哥德尔不完备性定理说， 只要自然数的公理系统2只有有限条公理，那么就国一定存在一些命题，你既不能用这些公理证明它是对的，也不能判断它是错的。也就是自然数的公理系统是*不完备*的。 有些人认为哥德尔证明了*一切*有限的公理系统都是不完备的——这可就错了。不完备性定理只限于自然数系统。 如果是一个封闭的实数*系统，那它就有可能是完备的、也是自洽的。比如欧氏几何就是一个关于实数的系统，塔斯基已经证明，欧氏几何系统—虽然仅有五条公理——是完备的和自洽的。 霍金说“也许要以有限数量的命题来阐述宇宙终极理论是不可能的。这和哥德尔不完备性定理非常相似。”换句话说，霍金觉得，也许物理定律就好像自然数的公理集合一样，有多少条都不够。 推广一下：所有可数的系统都等价于自然数系统。那么哥德尔不完备性定理的本质就是说，一个可数系统自己，是说明不了自己的。 任何一个可以写下来的语言系统，其中总会有一些语句，你用这个语言系统本身是无法判断其对错的，你必须得跳出这个语言才能判断。也就是说，如果你全部的思考都被限制一种语言里的话，有些事儿对你来说就永远不知道怎么做决定。你得跳出这个语言才行。你得有一些在这种语言之外的意思才行。所以不管多么精细的语言，都是不完备的。 如果大脑是个实数系统，那我们有些思维就是不可数的，就不能完全用任何一种语言描述。那如此说来，我们就有可能跳出这个语言，用“只可意会不可言传”的思维做出高级的判断。

任何一个语言的句子都是可数的，所以每个语言都是不完备的。文字是可数的，但文字背后的意思可以是不可数的。但如果你的思维是不可数的，你就总是可以创造一个新的语言去描写那些可以感知到、但无法用旧的语言描写的东西。 计算机系统本质上是一些可数的东西，符合哥德尔不完备性定理的条件。 哥德尔不完备性定理说，在这样一个封闭系统中，总有一些语句是这个系统本身所无法判断对错的。这就意味着如果我们身处的是一个数字宇宙，如果我们的大脑都是计算机，那迟早有一天，我们会发现对这个系统我们能想明白的东西都已经想明白了，剩下的都是永远都不可能想明白的。从那一天开始，我们将永远浑浑噩噩地活着。 但如果真实世界是实数的，人脑不是计算机，那我们就有可能随时跳出任何能写成文字的认知系统。我们永远都有一个只能意会、不可言传的思路。 我们可以不断地跳出旧系统，探索新知识、发明新语言，建立新系统。科学家永远可以琢磨新的物理定律，艺术家永远可以创造新的意境，工程师永远可以发明新的模型。 实数的世界是我们用语言所无法穷尽的。