2023华为杯研究生数学建模B题|思路代码深度剖析|小熊学姐带你深入浅出轻松玩转数模

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问题重述

1. 目标是研究DFT矩阵的低复杂度计算方案,以替代当前基于FFT的高复杂度方案。

2. 通过将DFT矩阵F_N分解为多个矩阵的乘积来降低复杂度。要求分解后的矩阵满足一定的约束条件。

3. 要综合考虑分解精度(通过最小化目标函数RMSE来评估)和复杂度(受矩阵非零元素个数和取值范围的影响)。

4. 给出5个具体问题,分别在不同约束条件下优化分解方案并计算精度和复杂度。

5. 问题1:仅限制矩阵的稀疏性;问题2:仅限制矩阵元素的取值范围;问题3:同时限制稀疏性和取值范围。

6. 问题4:考虑Kronecker积矩阵的分解;问题5:在要求精度RMSE≤0.1的前提下,优化取值范围以最小化复杂度。

问题一

1. 定义变量和参数:

   • 和问题描述中的定义相同
   • N:DFT矩阵维数
   • F_N:N维DFT矩阵
   • K:分解矩阵个数
   • A={A_1,A_2,…,A_K}:K个分解矩阵
   • β:缩放因子
   • C:复杂度

2. 约束条件:

   • 每个A_k的行最多只有2个非零元素

3. 目标函数:

   • 将F_N表示为βA_1…*A_K
   • 最小化F_N和分解结果的误差:
     min β,A RMSE(β,A) = ||βF_N - A_1…*A_K||_F

4. 复杂度计算:

   • 矩阵行只有2个非零元素,可以大大减少乘法次数
   • 假设元素取值范围为[-2^15, 2^15],即q=16
   • 则复杂度C可以表示为:C = q*L
   • 其中L为非零元素个数,可以通过遍历A_k获得

5. 求解思路:

   • 遍历不同的K值
   • 对每个K,随机初始化A_k,满足约束条件
   • 使用优化算法调整每个A_k,最小化误差
   • 计算对应的L和C
   • 记录最优解A*,β*,C*

6. 输出结果:

   • 最小化的RMSE
   • 对应的复杂度C
   • 优化得到的最优A*,β*

import numpy as np
from scipy.linalg import frobenius
from scipy.optimize import minimize

# 1. 输入参数
N = 8 
F_N = np.fft.fft(np.eye(N)) # 构建N阶DFT矩阵

# 2. 定义变量
K = 3 # 分解矩阵个数

# 初始化K个全零分解矩阵
A = []  
for i in range(K):
  A.append(np.zeros((N,N)))

beta = 1 # 缩放因子  

# 3. 设置约束条件
for k in range(K): # 遍历每个分解矩阵
  
  for i in range(N): # 遍历每个行 
    idx = np.random.permutation(N)[:2] # 随机取2个列索引
    
    # 给取出的2个列索引位置赋随机值
    A[k][i, idx[0]] = np.random.randn()  

模型分析

1. DFT矩阵结构

可以绘制DFT矩阵的实部和虚部,以直观显示DFT矩阵的特殊结构性。

2. 分解矩阵稀疏性

可以绘制分解矩阵的热力图,用颜色深浅表示矩阵元素的大小,从而直观显示分解矩阵的稀疏性。

3. 误差曲线

可以绘制优化过程中目标函数误差的变化曲线,观察误差下降的过程。

4. 复杂度曲线

同样可以绘制优化过程中复杂度C的变化曲线,看到复杂度是如何受约束条件影响。

5. 比较不同K值

可以绘制不同分解矩阵个数K下误差和复杂度的关系图,找到最优平衡点。

问题二

1. 定义变量和参数

   • $N$:DFT矩阵的维数
   • ${\mathbf{F}}_N$:N维DFT矩阵
   • $K$:分解矩阵的个数
   • $\mathbf{A}=\{{\mathbf{A}}_1,{\mathbf{A}}_2,...,{\mathbf{A}}_K\}$:分解得到的K个矩阵
   • $\beta$:缩放因子

2. 约束条件

   • ${\mathbf{A}}_k[i,j]\in \{0,\pm 1,\pm 2,...,\pm 2^{q-1}\},k=1,2,...,K;i,j=1,2,...,N$
   • 其中$q=3$

3. 目标函数

   • 将${\mathbf{F}}_N$表示为$\beta {\mathbf{A}}_1{\mathbf{A}}_2...{\mathbf{A}}_K$
   • 最小化误差:$\underset{\mathbf{A},\beta }{\min }\frac{1}{N}\Vert \beta {\mathbf{F}}_N-{\mathbf{A}}_1{\mathbf{A}}_2...{\mathbf{A}}_K{\Vert }_{\text{Fro}}$

4. 计算复杂度

   • $C=q\times L$
   • 其中$L$为复数乘法次数

5. 求解思路

   • 遍历不同的$K$值
   • 对每个$K$,随机初始化${\mathbf{A}}_k$,满足约束条件
   • 使用优化算法最小化目标函数
   • 计算对应的复杂度$C$
   • 记录最优解

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
from scipy.linalg import frobenius

# 1. 输入
N = 8  
F_N = np.fft.fft(np.eye(N))

# 2. 定义变量
K = 3   
q = 3
A = [np.random.randint(-2, 3, size=(N,N)) for _ in range(K)] 
beta = 1  

# 3. 设置约束条件
A = [np.clip(a, -2, 2) for a in A]

# 4. 定义目标函数
def objective(params):
    A, beta = params
    return frobenius(beta*F_N - np.linalg.multi_dot(A)) / N

完整版的代码和思路看看我的专栏哦~
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