存在无穷多个梅森素数

早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究 的先河.他在名著《几何原本》第九章中论述完全数时指出：如果 是素数，则 是完全数.

由于马林·梅森是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森学识渊博、才华横溢、为人热情以及最早系统而深入地研究 型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为 “梅森数”，并以 记之（其中 为梅森姓名的首字母），即 如果梅森数为素数，则称之为 “梅森素数”（即 型素数）.

小时候，我们可能都有过一些天真的想法，比如（像夸父逐日那样）一直往前走会怎样呢？这是人类追求极限探索世界最初的想法. 梅森素数就像那个奥妙无穷的世界的浓缩，由于这种素数具有着独特的性质（比方说和完全数密切相关）和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多数学家（包括欧几里得、费马、欧拉等）和无数的数学爱好者对它进行探究.

，美国田纳西州日耳曼敦的GIMPS志愿者乔纳森·佩斯 发现了第个梅森素数 这个超大素数有位数，再次刷新了已知最大素数纪录.

是否存在无穷多个梅森素数是数论中未解决的"著名"难题之一.

下面来证明：

存在无穷多个梅森素数

引理：若 是素数，则 是素数

证明：
当 时，若 则
由
可知 是合数，所以
若 是合数， 于是
由
以及 可知 是合数.
所以 是素数时， 必是素数.

再证：下面塔形数， 中每个 都是素数，所以，梅森素数有无穷多个.

证明：
假设有下列塔形数是素数， 有任意个，求 的值

根据引理可知： ( 塔形数是合数)
一个大于1的自然数不是素数就是合数，这里用排中律。
若塔形数是素数则
若塔形数是合数则
所以 时塔形数是素数.

如果你想不通的话，可以这样想：
假设 是素数，求 的值，求得
再假设 是素数，求 的值，求得
如此下去，
若无论 是多少个的塔形数是素数， 在假设它是素数的情况下求得了
反过来， 时，无论 是多少个，该塔形数都是素数, 都是梅森素数，所以，梅森素数有无穷多个.

所以 是素数，第 个梅森素数找到了，它有 位数.

因梅森素数是无穷多的，所以完全数也是无穷多的.

这个8位数就是塔形素数 的末8位数.

补充说明：
因 不一定是素数，可以是基伪素数，即使 是素数. 所以在设计 (构造) 塔形数时只能是一个未知数（不能是两个）, 到顶，不能设塔顶是 ,像这样：

这样只能求得 为素数，反过来不一定成立.
即为素数时该塔形数不一定是素数.
只有一个未知数时反过来必然成立.
即

一定是素数.
编程的朋友可以验证一下，不会错的.
证明于2016年10月30日