罗德里格斯公式

1.点乘

A ⃗ ⋅ B ⃗ = ∣ A ⃗ ∣ ∣ B ⃗ ∣ c o s ⟨ A ⃗ , B ⃗ ⟩ \vec{A} \cdot \vec{B} = \left | \vec{A} \right | \left | \vec{B} \right | cos\left \langle \vec{A}, \vec{B} \right \rangle A ⋅B = ​A ​ ​B ​cos⟨A ,B ⟩

• 对应几何意义：向量$A$在向量$B$方向上投影与 ∣ B ⃗ ∣ \left | \vec{B} \right | ​B ​的乘积，反应两个向量在方向上的相似度，结果越大越相似；
  

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2.叉乘

A ⃗ × B ⃗ = ∣ A ⃗ ∣ ∣ B ⃗ ∣ s i n ⟨ A ⃗ , B ⃗ ⟩ n ⃗ \vec{A} \times \vec{B} = \left | \vec{A} \right | \left | \vec{B} \right | sin\left \langle \vec{A}, \vec{B} \right \rangle \vec{n} A ×B = ​A ​ ​B ​sin⟨A ,B ⟩n

• 其中$n$为$A$与$B$所构成平面的单位向量。
• 对应几何意义：若以$A$和$B$为边构成一个平行四边形，那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的面积相等；
  

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3.罗德里格斯公式的特殊情形

• 如图所示，假设向量$k$为与Z轴重合的单位向量，向量$v$与X轴重合，向量$v$绕向量$k$旋转$\theta$角度后，得到向量$v_{rot}$：
  

• 那么，Y轴方向的单位向量为：
  $$Y=\frac{k\times v}{|k\times v|}$$

• 而向量$k$和向量$v$垂直，并且向量$k$为单位向量，则：
  $$Y=\frac{k\times v}{|k\times v|}=\frac{k\times v}{|k||v|sin⟨k,v⟩}=\frac{k\times v}{|v|}$$

• 那么旋转后的向量$v_{rot}$为：
  $$v_{rot}=|v_{rot}|cos\theta \frac{v}{|v|}+|v_{rot}|sin\theta \frac{Y}{|Y|}$$

• 由于旋转不会改变向量模长，所以$|v|=|v_{rot}|$，向量$Y$为归一化后的单位向量，所以：
  $$v_{rot}=cos\theta v+sin\theta (k\times v)$$

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4.罗德里格斯公式的一般形式

• 如图所示，向量$v$绕向量$k$旋转$\theta$角度得到向量$v_{rot}$，其中，向量$k$为单位向量：
  

• 向量$v$可以表示成如下形式：
  $$\begin{gathered} v=v_{\parallel }+v_{\perp } \\ {v}_{rot}=v_{\parallel }+v_{rot\perp } \end{gathered}$$

• 由于向量$k$为单位向量，有：
  $$v_{\parallel }=|v|cos⟨v,k⟩\frac{k}{|k|}=|v|\frac{v\cdot k}{|v||k|}\frac{k}{|k|}=v\cdot k\cdot k$$

• 那么向量$v$在垂直方向分量为：
  $$v_{\perp }=v-v_{\parallel }=v-v\cdot k\cdot k$$

• 将$v_{\perp }$绕向量$k$旋转$\theta$角度到向量$v_{rot\perp }$等价于上面罗德里格斯公式的特殊情形，直接代入公式有：
  $$v_{rot\perp }=cos\theta v_{\perp }+sin\theta (k\times v_{\perp })=cos\theta (v-v\cdot k\cdot k)+sin\theta (k\times v_{\perp })$$

• 所以，旋转后向量$v_{rot}$为：
  $$\begin{gathered} v_{rot}=v\cdot k\cdot k+cos\theta (v-v\cdot k\cdot k)+sin\theta (k\times v_{\perp }) \\ =cos\theta v+(1-cos\theta )v\cdot k\cdot k+sin\theta (k\times v_{\perp }) \end{gathered}$$

• 由叉乘的几何意义可知，$k\times v_{\perp }$和$k\times v$方向相同，都是向量$v，k$平面法向量方向，也即是图中Y轴方向，二者大小为：
  $$\begin{gathered} k\times v_{\perp }=|k|\ast |v_{\perp }|n \\ k\times v=|k|\ast (|v|sin⟨k,v⟩)n \\ =|k|\ast |v_{\perp }|n \\ =k\times v_{\perp } \end{gathered}$$

• 因此，得到罗德里格斯公式的一般形式：
  $$v_{rot}=cos\theta v+(1-cos\theta )v\cdot k\cdot k+sin\theta (k\times v)$$

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5.罗德里格斯公式的矩阵形式

• 将旋转表示成一个矩阵$R$的形式，即：
  $$v_{rot}=R.v$$
  -（1）$v\cdot k\cdot k$
  $$\begin{gathered} v\cdot k\cdot k \\ =(v\cdot k)\cdot k \\ =k(v\cdot k) \\ =k(k^T\cdot v) \\ =k(k^T\cdot v) \\ =(k{k}^T)v \end{gathered}$$
• (2) $k\times v$
  $$k\times v=k\wedge v$$
• 代入得到：
  $$R=cos\theta I+(1-cos\theta )k{k}^T+sin\theta k\wedge$$
• 由于$tr(I)=3，tr(k{k}^T)=||k||=1,tr(k\wedge )=0$，那么：
  $$\begin{gathered} tr(R)=3cos\theta +(1-cos\theta )=2cos\theta +1 \\ \theta =arccos(\frac{tr(R)-1}{2}) \end{gathered}$$

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6.参考资料

• [1] 罗德里格斯公式推导
• [2] 向量点乘和叉乘的意义