01背包问题——c

文章目录

    • 问题描述
    • 蛮力法——穷举查找
      • 穷举查找解决背包问题的大致思路
      • 样例图解
      • 分析
    • 动态规划
      • 递推公式
      • 样例求解图解
      • 关于选取的哪几个
      • c语言代码
    • 回溯
      • 回溯的一般过程
      • 样例图解
      • c语言代码

问题描述

给定n个重量为w1,w2,w3…wn,价值为v1,v2,v3…vn的物品和一个承重为w的背包,求这些午评中最有价值的子集,并且能够装到背包中。

蛮力法——穷举查找

穷举查找解决背包问题的大致思路

根据给出的n个物品的集合,考虑每种子集情况,计算出每个子集的总重量,是否满足总重量不超过背包的承重量,在满足条件的子集中找出价值最大的子集

样例图解

背包承重量为:10

物品1 物品2 物品3 物品4
重量(w) 3 4 5 6
价值(v) 12 40 25 42

由下图可知,最优为装入物品2,4。
01背包问题——c_第1张图片

分析

一个为n的序列,它的子集有2的n次方个。穷举的效率是非常低的,不推荐。

动态规划

递推公式

设计一个动态规划算法,需要推导出来一个递推公式。
在前i个物品中:
重量为:w1,w2,w3,…wi
价值为:v1,v2,v3,…vi
背包的承重量为:j
设F(i,j)为:当背包承重量为j时,在前i个物品中,总价值的最优解(也就是说能够放进重量为j的背包中的前i个物品中最有价值子集的总价值)

对于前i个物品来说,有三种情况:(前两种物品的重量小于背包的承重量)

  1. 放入背包,被包含在最优解中,最优子集的价值为:F(i-1,j)(采用前i-1个物品的最优解)
  2. 不放入背包,不被包含在最优解中,最优子集为:vi+F(i-1,j-wi)(放入时,背包还剩:j-wi,此时就要在j-wi的情况下,找到前i-1个物品的最优解)
  3. 对于重量大于背包承重量的物品,肯定不用放入,最优子集的价值为:F(i-1,j)(采用前i-1个物品的最优解)

因此,在物品重量小于背包的称重量时,应当1,2的最大值,考虑要不要放进去

得到递推公式:

01背包问题——c_第2张图片
很明显,需要利用二维数组进行求解。
当i=0时,没有物品,最优子集F(i,j)也就等于0的;
当j=0时,背包承重量为0,最优F(i,j)还是等于0的。

于是得到初始条件:
在这里插入图片描述

样例求解图解

知道递推公式之后,求解过程就相当于给一个二维数组填数字。
样例:背包承重量:W=5

物品 重量 价值
1 2 12
2 1 10
3 3 20
4 2 15

求解表如下:
01背包问题——c_第3张图片
01背包问题——c_第4张图片
01背包问题——c_第5张图片
在第五列最下面的一行为最大价值:37

关于选取的哪几个

求出了最大价值,当求有哪几个物品时,采用自底向上的方法,使用最后的结果和F(i-1,j)和vi+F(i-1,j-wi)进行比较,相等则选中。

c语言代码

采用递推公式:

#include 
int num,c;//物品的种数,背包所能承受的重量 
int F[100][100],x[100];
void knapsackP1(int w[],int v[])//动态规划
	{
		int i=0,j=0,n;
		for(i=0;i<=num;i++)
		{	if(i==0)
				{
					for(j=0;j<=c;j++)	//初始化 
						F[i][j]=0;
				}
			else{
				for(j=0;j<=c;j++)
					{
						if(j==0)	//初始化 
							F[i][j]==0;
						else{
							if(j-w[i]>=0)	//递推公式 
								F[i][j]=F[i-1][j]>(v[i]+F[i-1][j-w[i]])?F[i-1][j]:(v[i]+F[i-1][j-w[i]]);
							else F[i][j]=F[i-1][j];
						}
					}
			}
			
		}
		for(i=num,j=c,n=0;i>=0;)	//	根据求得的结果,往上比较 
			{
			if(F[i][j]==F[i-1][j])//未放入 
				{
					i--;
				}
			else{	//放入 
				x[n]=i;
				n++;
				j=j-w[i];
				i--;
				}
			}
		printf("被选中的物品数量为:"); 
		for(i=n-1;i>=0;i--)
			{
				printf("%d ",x[i]);
			}
			
	}
int main()
{
	printf("请输入物品的种数以及背包所能承受的最大重量:");
	scanf("%d%d",&num,&c);
	int i,w[c+1],v[c+1];
	printf("请输入物品的重量:");
	for(i=1;i<=num;i++)
		scanf("%d",&w[i]);
	printf("请输入物品的价值:");
	for(i=1;i<=num;i++)
		scanf("%d",&v[i]);
	knapsackP1(w,v);
	printf("\n背包最大价值为:%d",F[num][c]);
	return 0;
 } 

运行结果:
01背包问题——c_第6张图片
记忆化求解(仅供参考,代码可能有误,上面的代码更加好,不建议下面)

#include 
int num,c;//物品的种数,背包所能承受的重量 
int F[100][100],x[100],w[100],v[100];
int max(int a,int b)	//求最大值 
{
	if(a>=b)
		return a;
	else return b;
}
int knapsackP2(int i,int j)//动态规划——递归 
{	int value=0,v1,v2,n,m;
	if(F[i][j]<0)
		{
			if(j<w[i])
				{
					value=knapsackP2(i-1,j);
				}
			else{/*v2=v[i]+knapsackP2(w,v,i-1,j-w[i]);
					v1=knapsackP2(w,v,i-1,j);*/
					value=max(v[i]+knapsackP2(i-1,j-w[i]),knapsackP2(i-1,j));
			}
			
		}
	F[i][j]=value;
	for(n=0;n<=num;n++)
		{
			for(m=0;m<=c;m++)
				printf("%d ",F[n][m]);
			printf("\n");
		}
	return F[i][j];
}

int main()
{
	printf("请输入物品的种数以及背包所能承受的最大重量:");
	scanf("%d%d",&num,&c);
	int i,j,n;
	printf("请输入物品的重量:");
	for(i=1;i<=num;i++)
		scanf("%d",&w[i]);
	printf("请输入物品的价值:");
	for(i=1;i<=num;i++)
		scanf("%d",&v[i]);
	for(i=0;i<=c;i++)
		F[0][i]=0;
	for(i=0;i<=num;i++)
		F[i][0]=0;
	for(i=1;i<=num;i++)
		for(j=1;j<=c;j++)
			F[i][j]=-1;
	printf("\n背包最大价值为:%d\n",knapsackP2(num,c));
	for(i=0;i<=num;i++)
		{
			for(j=0;j<=c;j++)
				printf("%d ",F[i][j]);
			printf("\n");
		}
	for(i=num,j=c,n=0;i>=0;)	//	根据求得的结果,往上比较 
			{
			if(F[i][j]==F[i-1][j])//未放入 
				{
					i--;
				}
			else{	//放入 
				x[n]=i;
				n++;
				j=j-w[i];
				i--;
				}
			}
		printf("被选中的物品数量为:"); 
		for(i=n-1;i>=0;i--)
			{
				printf("%d ",x[i]);
			}	
	return 0;
 } 

运行结果:
01背包问题——c_第7张图片

回溯

回溯的一般过程

对所有的可能的解都进行计算,利用二进制(000…00~111…11),计算出最大价值,存储最优解

样例图解

样例:背包承重量:W=5

物品 重量 价值
1 2 12
2 1 10
3 3 20
4 2 15

0代表不装入,1代表装入:
01背包问题——c_第8张图片

c语言代码

#include 
#include 
int Bestvalue,weight,value,capacity;//分别是最大价值,每种情况的重量和价值,背包的容量   
void Backtrack(int w[],int v[],int best[],int x[],int n,int num)	//回溯 
{int i,j;
	if(n>=num)	//最多num个,到最后一个进行比较 
		{
			if(value>Bestvalue)//如果该种方法的价值能够超过最大价值则采用该方法 
				{
					Bestvalue=value;
					for(j=0;j<num;j++)		//保存采取的方法 
					{
						best[j]=x[j];
					}
				}
		}
	else{
		for(i=0;i<=1;i++)	//根据二进制01试可能的所有方法 
			{
			x[n]=i;		//各种方法 
			if(i==0)
				{
				Backtrack(w,v,best,x,n+1,num); 	//如果为零就递归到下一个 
				}
			else{
				if(weight+w[n]<=capacity)
				
					{
					weight+=w[n];		//选择就加上被选则物品的重量和价值 
					value+=v[n];
					Backtrack(w,v,best,x,n+1,num);
					weight-=w[n];		//每一种的方法算完之后减去被选中的重量和价值,可以使得每种方法的最开始的重量和价值都为0 
					value-=v[n];
					}
			}
		}
	}
} 
int main()
{	int num; 
	printf("请输入背包的容量:");
	scanf("%d",&capacity);
	printf("请输入物品数量:");
	scanf("%d",&num);
	int w[num],v[num],i,best[num],x[num];
	printf("请输入物品的重量:");
	for(i=0;i<num;i++)
		scanf("%d",&w[i]);
	printf("请输入物品的价值:");
	for(i=0;i<num;i++)
		scanf("%d",&v[i]);
	Backtrack(w,v,best,x,0,num);	
	printf("最优的选择为(0为不选,1为选):"); 
	for(i=0;i<num;i++)
		printf("%d ",best[i]);
	return 0; 
} 

运行结果:
01背包问题——c_第9张图片

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