数据结构 | 有关树和二叉树的详解【内附考点精析】

树

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
  <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

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树的相关概念

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

注：打√的重点记忆

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树的性质和常用公式总结 ⭐⭐⭐⭐⭐

性质1：树中的结点数等于所有结点的度数之和 + 1【例：n = (2n₁+n₂+2n₃) + 1】

• 佐证：除根结点外结点数等于所有分支数之和，即结点数等于所有结点分支数之和 + 1（所有结点分支数之和 = 所有结点度数之和）

性质2：每个度为i的结点在所有结点度数之和中贡献i个度【例：n₁+2n₂+3n₃】
性质3：对于m次树的总结点个数为从n₀开始加到n_m【例：n = n₀+n₁+n₂…+n_m】

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公式1：所有结点度数之和 = n - 1【性质1…】
公式2：所有结点度数之和 = N₁ + 2N₂ + … + mN_m【性质2…】
公式3：N = N₀ + N₁ + N₂ +… + N_m【性质3…】

树的表示

我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
	struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType _data; // 结点中的数据域
};

• 大概是下面这种结构，只需要知道一个结点的孩子结点就可以找到其他孩子结点
  

• 优点：空指针域相对来说会减少许多

• 缺点：从当期那结点查找双亲结点比较麻烦

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树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

• 说到一棵树在实际中的运用，就可以想到Linux中的树状目录结构，它就是一棵树，有着很多子树以及分支

• 而像我们Windows中的目录结构，更像是上面提到的一个概念叫做【森林】，许多内容互不相交

二叉树

二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

注：

• 二叉树不存在度大于2的结点
• 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

现实中的二叉树

• 下面是一个现实生活中的二叉树，而且对于我们程序员来说，其实一眼就可以看出这是一棵【满二叉树】，什么叫满二叉树，我们继续看下去

特殊的二叉树

接下去讲两种特殊的二叉树：满二叉树和完全二叉树

• 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
  说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k-1，则它就是满二叉树。
• 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
  的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
  应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

非空满二叉树特点如下：

• 叶子结点都在最下一层
• 只有度为0和度为2的结点

非空完全二叉树特点如下：

• 叶子结点只可能在最下面两层中出现
• 对于最大层次中的叶子结点，都依次排列在改层最左边的位置上
• 如果有度为1的结点，那只可能有一个，且该结点只有左孩子而无右孩子
• 对于完全二叉树，前N - 1可以是满的，最后一层可以不满，从左到右必须是连续的
• 当结点总数n为奇数时，n₁ = 0；当结点总数n为偶数时，n₁ = 1

求解满二叉树和完全二叉树的高度⭐⭐⭐

• 接下去通过画图分析来计算一些这两种特殊二叉树的高度，这也是重点部分

首先是满二叉树

接下去是完全二叉树

二叉树的性质

性质解读

• 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点.
• 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1
• 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n₀, 度为2的分支结点个数为 n₂,则有 n₀＝ n₂＋1
• 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度为h = log₂(n + 1) . (ps： log₂(n + 1) 是log以2
  为底，n+1为对数)
• 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
  于序号为i的结点有：
  ①若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
  ②若2i+12i+1，2i+1>=n否则无左孩子
  ③若2i+22i+2，2i+2>=n否则无右孩子

二叉树的存储结构及实现

讲完了二叉树的一些基本性质，接下去我们来说说对于一棵二叉树是如何存储的。分为顺序存储和链式存储两种

顺序存储

• 顺序结构存储就是使用【数组】来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空
  间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺
  序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

链式存储

• 二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
  链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
  在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程
  学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链

二叉链

typedef int BTDataType;
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
	BTDataType _data; // 当前节点值域
}

三叉链

struct BinaryTreeNode
{
 struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
 struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
 BTDataType _data; // 当前节点值域
}；

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有关顺序存储结构的实现——堆【⭐】

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结
构存储。
现实中我们通常把【堆】(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统
虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

• 下面这篇文章是有关堆的一些实现以及相应算法

链接

有关链式存储结构的实现——链式二叉树【⭐】

• 接下去来说说有关链式二叉树的实现，请看下面这篇文章

更新中。。。

习题演练✍

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（B）
   A 不存在这样的二叉树
   B 200
   C 198
   D 199

• 分析：因为 n₀＝ n₂＋1，只要记住这个公式，立马可以得出答案为199+1 = 200

2. 在一颗完全二叉树中，某一个结点没有其左孩子，则该结点一定（ B）
   A.是根结点
   B.是叶结点
   C.是分支结点
   D.在倒数第二层.

• 分析：对于一棵完全二叉树来说，若是一个结点没有左孩子结点，那它一定不能由右孩子结点，否则这样就会出现【断层】的现象，就不是完全二叉树了。对于一个结点既没有左孩子结点又没有右孩子结点，表示其为叶子结点，对于完全二叉树来说，除了最后一层有叶子结点外，倒数第二层也可能会出现叶子结点

3. . 一颗完全二叉树有1001个结点，其叶子结点的个数是（ C）
   A.251
   B.500
   C.501
   D.不能确定

Way1：

• 思路1使用的是满二叉树和完全二叉树的一些基本性质。这些我在上面已经提到过了
  满二叉树的总结点个数 = 2^h-1
  满二叉树最后一层结点个数 = 2^h-1
  完全二叉树的总结点个数范围： 2^h-1 < n < 2^h-1

Way2：

• 思路2其实使用的也是完全二叉树的一个性质，而且蛮重要的
  当结点总数n为奇数时，n1 = 0；当结点总数n为偶数时，n1 = 1

4. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（A）
   A n
   B n+1
   C n-1
   D n/2

5. 一棵完全二叉树的节点数为为531个，那么这棵树的高度为（B）
   A 11
   B 10
   C 8
   D 12

6. 若一棵3次树中度为3的结点有两个，度为2的结点有一个，度为1的结点有两个，则该3次树中总的结点个数和叶子结点个数分别是多少？

更新中。。。

总结与提炼

• 本文我们讲到了【树和二叉树的基本概念和性质】，对树和二叉树有了一个基本的认识，清楚了一些基本的结构，掌握了几条重要的性质，接着使用这些性质去计算实际的题目，希望你也可以活学活用，将所学到的知识运用起来

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