数据结构 | 有关树和二叉树的详解【内附考点精析】

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树和二叉树

    • 树的概念
    • 树的相关概念
    • 树的性质和常用公式总结 ⭐⭐⭐⭐⭐
    • 树的表示
    • 树在实际中的运用(表示文件系统的目录树结构)
  • 二叉树
    • 二叉树的概念
    • 现实中的二叉树
    • 特殊的二叉树
      • 求解满二叉树和完全二叉树的高度⭐⭐⭐
    • 二叉树的性质
      • 性质解读
    • 二叉树的存储结构及实现
      • 顺序存储
      • 链式存储
      • 有关顺序存储结构的实现——堆【⭐】
      • 有关链式存储结构的实现——链式二叉树【⭐】
  • 习题演练✍
  • 总结与提炼

树的概念

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的
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  • 有一个特殊的结点,称为根结点,根节点没有前驱结点
  • 除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合Ti(1<= i
    <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继
  • 因此,树是递归定义的。

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注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构

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树的相关概念

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  • 节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6
  • 叶节点或终端节点度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I…等节点为叶节点
  • 非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G…等节点为分支节点
  • 双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点
  • 孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点
  • 兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点
  • 树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6
  • 节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
  • 树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
  • 堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点
  • 节点的祖先从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先
  • 子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙
  • 森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林;

注:打√的重点记忆


树的性质和常用公式总结 ⭐⭐⭐⭐⭐

性质1:树中的结点数等于所有结点的度数之和 + 1例:n = (2n1+n2+2n3) + 1

  • 佐证:除根结点外结点数等于所有分支数之和,即结点数等于所有结点分支数之和 + 1(所有结点分支数之和 = 所有结点度数之和)

性质2:每个度为i的结点在所有结点度数之和中贡献i个度例:n1+2n2+3n3
性质3:对于m次树的总结点个数为从n0开始加到nm例:n = n0+n1+n2…+nm


公式1:所有结点度数之和 = n - 1性质1…
公式2:所有结点度数之和 = N1 + 2N2 + … + mNm性质2…
公式3:N = N0 + N1 + N2 +… + Nm性质3…

树的表示

我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
	struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType _data; // 结点中的数据域
};
  • 大概是下面这种结构,只需要知道一个结点的孩子结点就可以找到其他孩子结点
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  • 优点:空指针域相对来说会减少许多

  • 缺点:从当期那结点查找双亲结点比较麻烦


树在实际中的运用(表示文件系统的目录树结构)

  • 说到一棵树在实际中的运用,就可以想到Linux中的树状目录结构,它就是一棵树,有着很多子树以及分支

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  • 而像我们Windows中的目录结构,更像是上面提到的一个概念叫做【森林】,许多内容互不相交

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二叉树

二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

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注:

  • 二叉树不存在度大于2的结点
  • 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:
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现实中的二叉树

  • 下面是一个现实生活中的二叉树,而且对于我们程序员来说,其实一眼就可以看出这是一棵【满二叉树】,什么叫满二叉树,我们继续看下去

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特殊的二叉树

接下去讲两种特殊的二叉树:满二叉树和完全二叉树

  • 满二叉树:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是
    说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是 2k-1,则它就是满二叉树。
  • 完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
    的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
    应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

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非空满二叉树特点如下:

  • 叶子结点都在最下一层
  • 只有度为0和度为2的结点

非空完全二叉树特点如下:

  • 叶子结点只可能在最下面两层中出现
  • 对于最大层次中的叶子结点,都依次排列在改层最左边的位置上
  • 如果有度为1的结点,那只可能有一个,且该结点只有左孩子而无右孩子
  • 对于完全二叉树,前N - 1可以是满的,最后一层可以不满,从左到右必须是连续的
  • 当结点总数n为奇数时,n1 = 0;当结点总数n为偶数时,n1 = 1

求解满二叉树和完全二叉树的高度⭐⭐⭐

  • 接下去通过画图分析来计算一些这两种特殊二叉树的高度,这也是重点部分

首先是满二叉树

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接下去是完全二叉树

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二叉树的性质

性质解读

  • 若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2(i-1)个结点.
  • 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是2h-1
  • 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有 n0= n2+1
  • 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度为h = log2(n + 1) . (ps: log2(n + 1) 是log以2
    为底,n+1为对数)
  • 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号,则对
    于序号为i的结点有:
    ①若i>0,i位置节点的双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根节点编号,无双亲节点
    ②若2i+12i+1,2i+1>=n否则无左孩子
    ③若2i+22i+2,2i+2>=n否则无右孩子

二叉树的存储结构及实现

讲完了二叉树的一些基本性质,接下去我们来说说对于一棵二叉树是如何存储的。分为顺序存储和链式存储两种

顺序存储

  • 顺序结构存储就是使用【数组】来存储,一般使用数组只适合表示完全二叉树,因为不是完全二叉树会有空
    间的浪费。而现实中使用中只有才会使用数组来存储,关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺
    序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树。

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链式存储

  • 二叉树的链式存储结构是指,用链表来表示一棵二叉树,即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
    链表中每个结点由三个域组成,数据域和左右指针域,左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
    在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链,当前我们学习中一般都是二叉链,后面课程
    学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链

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二叉链

typedef int BTDataType;
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
	BTDataType _data; // 当前节点值域
}

三叉链

struct BinaryTreeNode
{
 struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
 struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
 BTDataType _data; // 当前节点值域
}

有关顺序存储结构的实现——堆【⭐】

普通的二叉树是不适合用数组来存储的,因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结
构存储。
现实中我们通常把【堆】(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储,需要注意的是这里的堆和操作系统
虚拟进程地址空间中的堆是两回事,一个是数据结构,一个是操作系统中管理内存的一块区域分段

  • 下面这篇文章是有关堆的一些实现以及相应算法

链接

有关链式存储结构的实现——链式二叉树【⭐】

  • 接下去来说说有关链式二叉树的实现,请看下面这篇文章

更新中。。。

习题演练✍

  1. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为(B
    A 不存在这样的二叉树
    B 200
    C 198
    D 199
  • 分析:因为 n0= n2+1,只要记住这个公式,立马可以得出答案为199+1 = 200
  1. 在一颗完全二叉树中,某一个结点没有其左孩子,则该结点一定( B
    A.是根结点
    B.是叶结点
    C.是分支结点
    D.在倒数第二层.
  • 分析:对于一棵完全二叉树来说,若是一个结点没有左孩子结点,那它一定不能由右孩子结点,否则这样就会出现【断层】的现象,就不是完全二叉树了。对于一个结点既没有左孩子结点又没有右孩子结点,表示其为叶子结点,对于完全二叉树来说,除了最后一层有叶子结点外,倒数第二层也可能会出现叶子结点
  1. . 一颗完全二叉树有1001个结点,其叶子结点的个数是( C
    A.251
    B.500
    C.501
    D.不能确定

Way1:

  • 思路1使用的是满二叉树和完全二叉树的一些基本性质。这些我在上面已经提到过了
    满二叉树的总结点个数 = 2h-1
    满二叉树最后一层结点个数 = 2h-1
    完全二叉树的总结点个数范围: 2h-1 < n < 2h-1

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Way2:

  • 思路2其实使用的也是完全二叉树的一个性质,而且蛮重要的
    当结点总数n为奇数时,n1 = 0;当结点总数n为偶数时,n1 = 1

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  1. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为(A
    A n
    B n+1
    C n-1
    D n/2

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  1. 一棵完全二叉树的节点数为为531个,那么这棵树的高度为(B
    A 11
    B 10
    C 8
    D 12

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  1. 若一棵3次树中度为3的结点有两个,度为2的结点有一个,度为1的结点有两个,则该3次树中总的结点个数和叶子结点个数分别是多少?

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更新中。。。

总结与提炼

  • 本文我们讲到了【树和二叉树的基本概念和性质】,对树和二叉树有了一个基本的认识,清楚了一些基本的结构,掌握了几条重要的性质,接着使用这些性质去计算实际的题目,希望你也可以活学活用,将所学到的知识运用起来

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