【JavaSE与数据结构】树与二叉树（理论篇）
目录
一、树型结构
1.1 关于树的一些专有名词
1.2 树的运用
1.3 树的表示形式（简单了解）
二 、二叉树
2.1 概念
2.2 两种特殊的二叉树
2.3 二叉树的性质
例题
2.4 二叉树的存储
2.5 前序遍历，中序遍历，后序遍历（理论篇）
2.6 前序遍历，中序遍历，后序遍历（代码篇）
2.7 巩固遍历——力扣
前言：在介绍二叉树之前，我们先来简单了解一下树型结构的概念。
一、树型结构
树是一种非线性的数据结构，它是由 n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
- 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 树是递归定义的（比如：A（是一颗树）由若干个子树构成的，而 这些子树（作为树），又是由若干个子树构成的）
注意：
树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
一棵N结点的树有N-1条边
1.1 关于树的一些专有名词
- 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
- 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
- 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点
- 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
- 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
- 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
- 结点的层次（深度）：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推。
- 树的高度：树中结点的最大层次（最大深度就是树的高度）； 如上图：树的高度为4
以下作为补充：
- 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
- 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
- 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
- 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
- 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
- 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
1.2 树的运用
树主要运用于文件系统管理，详情可移步
博主的博客——Java中文件操作和IO_一晃眼就不见的博客-CSDN博客
1.3 树的表示形式（简单了解）
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法（二叉链表示法），孩子表示法（二叉链表示法）、孩子双亲表示法（三叉链表示法）、孩子兄弟表示法（本质也是二叉链表示法）等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
二 、二叉树
2.1 概念
一颗二叉树是结点的一个有限集合，其特性如下：
- 可能为空
- 可能是由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成的。
从上图可以看出：
- 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
2.2 两种特殊的二叉树
- 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是
，则它就是满二叉树。 - 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.3 二叉树的性质
- 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有
(i>0)个结点 - 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的所有结点数和为 (k>=0)。
- 对任何一棵二叉树, 如果其叶子结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1。
推导过程：
假设一个二叉树有N个结点，假设度为0的节点有n0个，度为1的节点有n1个，度为2的节点有n2个.
可以得出： N = n0 + n1 + n2.
又知：n个节点可以产生n-1条边，度为1的节点产生一条边，度为2的节点产生两条边，
可以得出：N-1 = n1 + 2*n2.
又两个计算式可以推出：n0 = n2+1.
- 具有n个结点的完全二叉树的深度k为
，向上取整。
推导过程
我们知道深度为K的二叉树的所有结点数和为
k =
- 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
已知 父亲节点的下标为i，左孩子下标为 2*i + 1.右孩子下标为 2*i + 2.
已知 孩子节点的下标为i，父亲节点的下标 = （i-1）/ 2.
例题
根据以上一些性质，我们来做几道题吧！
1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 3864.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12
答案为：
1.B
解析：可根据性质 n0＝n2＋1 得出。
2.A解析：首先，我们可以判断出来该树是有偶数个节点，那么根据完全二叉树的特性可知，该数有且仅有一个度为1的节点（如果多的话，就不符合完全二叉树的要求），这种情况下，这个完全二叉树的节点是由度为0，1，2的节点构成的，2n = n0 + 1+ n2. 又因 n0 = n2 +1 .
得：2n = 2n0. 所以，叶子节点个数为n个。
3.B
解析；
节点数为奇数的完全二叉树，其实情况与上述相似，因是奇数个节点，所以该完全二叉树是不会有度为1的节点的。 X = n0 + n2， n0 = n2 + 1.
X = 2n0-1
所以叶子节点个数为： （X+1）/ 2.
4.B解析：根据上述公式: k =
2.4 二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
本篇博客先讲解链式存储：
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下:
// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
//孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}2.5 前序遍历，中序遍历，后序遍历（理论篇）
- NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
- LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
- LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。
以上图为例，该树的三种遍历结果如下：
前序遍历：A B D E H C F G
中序遍历：D B E H A F C G
后续遍历：D H E B F G C A
了解了这几种遍历方式，接下来的这几道题相信也难不倒大家吧
1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()
A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A: E B: F C: G D: H
3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()
A: adbce B: decab C: debac D: abcde
4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF
【参考答案】 1.A 2.A 3.D 4.A
2.6 前序遍历，中序遍历，后序遍历（代码篇）
以该树为例：
因目前所学有限，此处手动快速创建一棵简单的二叉树。
public class BinaryTree {
static class TreeNode {
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val) {
this.val = val;
}
}
//二叉树的根节点
public TreeNode createTree() {
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return A;
}
//前序遍历
void preOrder(TreeNode root) {
if(root == null) {
return;
}
System.out.print(root.val+" ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
// 中序遍历
void inOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val+" ");
inOrder(root.right);
}
// 后续遍历
void postOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val+" ");
}
}主函数：
public class Main {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
BinaryTree.TreeNode root = binaryTree.createTree();
System.out.println("前序遍历");
binaryTree.preOrder(root);
System.out.println();
System.out.println("中序遍历");
binaryTree.inOrder(root);
System.out.println();
System.out.println("后序遍历");
binaryTree.postOrder(root);
}
}运行结果：
2.7 巩固遍历——力扣
实现代码1（遍历思路）：
class Solution {
List list = new ArrayList<>();
public List preorderTraversal(TreeNode root) {
if(root == null) return list;
list.add(root.val);
preorderTraversal(root.left);
preorderTraversal(root.right);
return list;
}
} 注意：这里的链表需要定义为全局变量，因为如果定义在方法内部，在每一次递归的过程中，都会创建一个新的变量，后续的值每次都被风别放入那个新的变量中，不符合题意。
实现代码2（子问题思路）：
class Solution {
public List preorderTraversal(TreeNode root) {
List list = new ArrayList<>();
if(root == null) return list;
list.add(root.val);
List leftTree = preorderTraversal(root.left);
list.addAll(leftTree);
List rightTree = preorderTraversal(root.right);
list.addAll(rightTree);
return list;
}
} 分析：虽然每次递归都会创建一个新的链表，但是，会把这个链表中的所有元素都加入到上一个链表中。
中序和后序的遍历也是如此这里就不做过多阐述。