二维向量加减法、模、点乘、叉乘以及坐标系旋转平移

向量加法

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运算法则：首尾相连，连接首尾，指向终点

向量减法

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运算法则：同起点，指被减（减向量终点指向被减向量终点）

向量的模

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任何一个向量的模都等于√X^2 + Y^2

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描述上图OB向量的方向就是：沿X轴逆时针旋转θ角,那如何算出θ角，那就是sinθ=y/|OB|→=y / √x^2 + y^2.

点乘

点乘几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：

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向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。
公式：

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推演余弦定理

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C^2=(a→-b→)(a→-b→)

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→表示向量
最后推演出点乘a→*b→=|a→| * |b→|cosθ

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：

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根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

 a·b>0    方向基本相同，向量夹角为锐角

 a·b=0    正交，相互垂直  

 a·b<0    方向基本相反，向量夹角为钝角

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叉乘

两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
向量的叉乘公式为：
a ^ b = |a| * |b| * sinθ
叉乘的结果是一个新的向量，所以也称为向量积，它垂直于相乘的a、b两向量所构成的平面。
向量积被定义为：

模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）

方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。c = a ∧ b）

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叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

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在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
A向量和B向量叉乘的结果还是一个向量，二这个向量是永远垂直于A向量和B向量所在的这个平面的

单位向量

单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。

一个非零向量除以它的模，可得所需单位向量。设原来的向量是 ，则与它方向相同的的单位向量

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一个单位向量的平面直角坐标系上的坐标表示可以是：(n,k) ，则有n²+k²=1。其中k/n就是原向量在这个坐标系内的所在直线的斜率。这个向量是它所在直线的一个单位方向向量。不同的单位向量，是指它们的方向不同。对于任意一个非零向量a，与它同方向的单位向量记作 。

二维坐标系旋转

计算如下：

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!

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二维坐标系平移

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二维坐标系旋转和平移

使用之前的先旋转坐标系在平移坐标得到旋转平移后坐标如下图

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得出

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向量的计算必须在同一坐标系