剑指 Offer 14.剪绳子（动态规划、数学分析）

一、题目内容

        

二、题目分析

        这道题目讲道理，我看到的第一眼就是动态规划，但是后来提交之后，发现还有大佬考虑用数学分析得出精简解法，在这里我也会一 一阐述。

        对于动态规划而言，按照老套路，首先定义dp数组，含义明了，定义长度为n+1的dp数组，其中dp[i]代表长度为i的绳子的最大乘积。

        其次，我们寻找初始条件，简单分析就可以得到，dp[2]=1，dp[1]=1（虽然题目告诉我们n>=2，但是设置dp[1]有利于接下来的计算），好的我们得到了初始条件。

        接着我们需要考虑状态转移方程，对于本题而言，这里是最困难的部分。怎么把dp[i]和dp[i-1]联系在一起呢？我们发现这是不可能的，为什么？

        因为我们容易知道dp[3]等于2，是指将长度为3的绳子分成1和2或者2和1，相当于将长度为3的绳子从中间切了一刀，而dp[4]的值应该是2，是将长度为4的绳子分成两个长度为2的绳子。那么大家想一想，我怎么可以从dp[3]得到dp[4]呢？总不能把dp[3]切开的部分粘合起来吧？所以，如果用dp[3]计算dp[4]，得到的结果应该是1*2*1，也就是dp[3]*(4-3),它的意思是，当长度为3的绳子分成1和2之后，又来了一个长度为1的绳子，没办法，总不能把你们拼接起来，那只能分成三份了1*2*1，得到2，由此我们可以看出，虽然通过dp[i-1]得到了一个dp[i]，但是它远不是最优解。

        那么咋办呢？我们可以想到，既然dp[i-1]得到的不是最优解，那么总有方式得到最优解吧。

所以，我们可以在定义i从3到n的大循环内，再定义一个从0到i（左闭右开）的小循环，目的就是将dp[i-j]看成一个整体，将j看做一个整体，这样就是计算两段绳子的乘积最大值，举个例子：

        dp[2]等于1，是指将长度为2的绳子分成了1和1，而dp[3]呢？我们从0开始，依次计算dp[i-j]*j,当j=0时，dp[i-j]*j=0；当j=1时，dp[i-j]*j=1，指的是将长度为2，分成1和1的那段绳子看做一个整体，然后多出来的1又做一个整体，这样得出dp[3]=1,不是最优解，么儿关系，继续看；当j=2的时候，dp[i-j]*j=2，指的是将长度为1的绳子看做一个整体，然后多出来的长度为2的绳子又看做一个整体，这里注意，这时候，不要一直关注于刚刚所说的将dp[2]分为1和1，此时是dp[1]，只有一个长度为1的绳子，然后多出来的是长度为2的一个长绳子，这样就的出来最优值dp[3]=2了。

        但是其实还有个问题，应该dp[i]=dp[i-j]*j并不能包含所有情况，比如dp[4]你会发现，不管怎么遍历，都只能得出3，这是因为当我们让dp[4]=dp[4-2]*2时，发现结果为1*2,，而不是我们想象的2*2，这是因为呀，dp[2]是将长度为2 的绳子分成了1和1，那么dp[4]就是将长度为4的绳子分为了1*1*2，自然不是最优解啦，这里不是最优解的根源在于，明明分成两段就可以解决的事，非要分成三段，那我们不如再考虑一下所有分成两份的情况，也就是(i-j)*j，即将所有长度为i的绳子，j从0到i，都分成（i-j）和j的绳子，这样就可以解决那种只要分成两份，而不会分成三份的情况啦。

         所以最终我们的状态转移方程就是：

        

dp[i]=max(dp[i],dp[i-j]*j,(i-j)*j);

        所以完整代码为：

 public int cuttingRope(int n) {
        int []dp=new int [n+1];
        dp[1]=1;
        dp[2]=1;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            for(int j=0;j

三、数学分析

        这道题归类在数学题中，说明可以经过独到的数学分析得出最优的结果。

        力扣上的解析讲的很好，我就不班门弄斧了：数学分析解决剪绳子问题

                                                                                                                —— END SUB